赫斯頓的維加/貝茨模型
只是一個關於“約定”的問題：Heston / Bates 的 Vega 模型是否對 $ \sqrt v_0 $ 或一個術語 $ \sqrt v_0 $ 和 $ \theta $ （長期差異）？
問候
自從 $ v_0 $ 和 $ \theta $ 負責變異數的初始和長期水平，Zhu (2010)建議將 vega 基於這兩個參數。這兩個參數都代表變異數，因此為了衡量對波動性的敏感性，Zhu (2010) 定義了兩個 vegas，一個基於 $ \upsilon=\sqrt v_0 $ 另一個基於 $ \omega=\sqrt \theta $ 因此，看漲期權是導數
$$ \begin{align} \vartheta_1=\frac{\partial C}{\partial\upsilon}=\frac{\partial C}{\partial v_0}2\sqrt v_0 \end{align} $$ 和 $$ \begin{align} \vartheta_2=\frac{\partial C}{\partial\omega}=\frac{\partial C}{\partial \theta}2\sqrt \theta \end{align} $$ 第一個維加是 $$ \begin{align} \vartheta_1=S,e^{-q\tau}\frac{\partial P_1}{\partial v_0}2\sqrt{v_0}-K,e^{-r\tau}\frac{\partial P_2}{\partial v_0}2\sqrt{v_0} \end{align} $$ 其中，對於 $ j=1,2 $ $$ \begin{align} P_j=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}Re\left[\frac{e^{-i\phi\ln K}f_j(x_t,v_t,t;\phi)D_j(\tau;\phi)}{i\phi}\right]d\phi \end{align} $$ 這樣 $ x_t=\ln S_t $ 和 $$ \begin{align} &\ &f_j(x_t,v_t,t;\phi)=exp[C_j(\tau;\phi)+D_j(\tau;\phi)v_t+i\phi x_t]\ &\ &D_j(\tau;\phi)=\frac{b_j-\rho\sigma i\phi+d_j}{\sigma^2}\left(\frac{1-e^{d_j\tau}}{1-g_j e^{d_j\tau}}\right)\ &\ &C_j(\tau;\phi)=r i\phi\tau+\frac{\kappa\theta}{\sigma^2}\left[(b_j-\rho\sigma i\phi+d_j)\left(\frac{1-g_{j},e^{d_j\tau}}{1- g_j}\right)\right]\ \end{align} $$ 在哪裡 $$ \begin{align} &d_j=\sqrt{(\rho\sigma i\phi-b_j)^2-\sigma^2(2,u_{j},i\phi-\phi^2)}\ &g_j=\frac{b_j-\rho\sigma i\phi+d_j}{b_j-\rho\sigma i\phi-d_j}\ &b_1=\kappa+\lambda-\rho\sigma,b_2=\kappa+\lambda,u_1=-\frac{1}{2},u_2=\frac{1}{2} \end{align} $$ 有關更多詳細資訊，請查看此