What’s Risk-Neutral in an Interest Rate Model?
In Shreve II, on p. 265 he states the Hull-White interest rate model as
[數學處理錯誤] dR(u)=(a(u)−b(u)R(u))dt+σ(u)dW~(u),數學處理錯誤W~(u)] 數學處理錯誤P~] 數學處理錯誤P~][Math Processing Error]$$ dR(u) = \left( a(u) - b(u)R(u)\right) dt + \sigma(u)d\tilde{W}(u), $$ and then mentions “…[Math Processing Error] $ \tilde{W}(u) $ is a Brownian motion under a risk-neutral measure [Math Processing Error] $ \tilde{\mathbb{P}} $ .” 然而，當他在第 228 頁定義風險中性度量時，他指出[Math Processing Error] $ \tilde{\mathbb{P}} $ 是貼現股票價格為鞅的度量。 這個定義在這裡並不真正適用，那麼在建模利率時“風險中性度量”是什麼意思？此外，為什麼利率模型似乎總是在這些風險中性機率下陳述？
這是一個非常有趣的問題。金融建模中的馬丁格爾方法一書中有一個簡短的解釋。基本上，它說，短期利率[Math Processing Error] $ r_t $ 可以用任何鞅測度建模[Math Processing Error] $ Q $ 但是，只要債券價格為零息 $ P(t, T) $ 定義為
[Math Processing Error]$$ \begin{align*} P(t, T) = E^{Q}\Big(e^{-\int_t^T r_s ds} \mid \mathcal{F}_t\Big) \end{align*} $$ 然後是貼現的債券價格$$ \frac{P(t, T)}{B(t)}, $$ 是一個 $ Q- $ 鞅，並且是無套利的。這裡 $ B(t)= e^{\int_0^tr_sds} $ 是貨幣市場賬戶價值。這為我們提供了選擇鞅測度的自由，人們總是假設利率模型是在風險中性機率測度下定義的。