對變異數互換收益的推導感到困惑
我正在嘗試關注 https://en.wikipedia.org/wiki/Variance_swap#Pricing_and_valuation
在我看來，他們只是減去了一個簡單的回報： $$ R_t = \frac{\mathrm{d}S_t}{S_t} = \mu \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}Z_t $$
從日誌返回： $$ r_t = \mathrm{d}(\mathrm{log} S_t) = \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}Z_t $$
要得到
$$ R_t - r_t = \frac{\mathrm{d}S_t}{S_t} - \mathrm{d}(\mathrm{log}S_t) = \frac{\sigma^2}{2}\mathrm{d}t $$
我顯然遺漏了一些明顯的東西，但是這種差異如何取決於波動性和/或經過的時間？簡單和日誌返回之間沒有直接的一對一映射（ $ R_t = e^{r_t} - 1 $ )? 我是否缺少一些隱含的期望值？
具有完整的定義 $ r_t $ 和 $ R_t $ ， 我們確實有：
$$ r_t := \int_0^t d(\ln S_u) = \ln S_t - \ln S_0 \color{green}= \ln \left( \frac{S_t}{S_0}\right), $$
但：
$$ R_t := \int_0^t \frac{dS_u}{S_u} \color{red}{\not=} \frac{S_t - S_0}{S_0} \color{green}= {\rm e}^{r_t} -1. $$
在符號差異語言中：
$$ \frac{dS_u}{S_u} \color{red}{\not=} \frac{dS_u}{S_0}. $$