多變數 Ito 引理 + 跳躍（Poisson）的練習
給定兩個跳躍擴散：
[Math Processing Error]$$ \begin{equation} \begin{aligned} dX_{1,t} &= a_1 dt + b_1 dW_t + c_1 dN_t(\lambda) \ dX_{2,t} &= a_2 dt + b_2 dW’t + c_2 dN_t(\lambda) \ corr(dW,dW’) &= \rho \ dN & \mbox{: Poisson process, of intensity } \lambda \end{aligned} \end{equation} $$ 哪個 SDE $$ df_t = ? $$ 滿足功能 [Math Processing Error]$$ f_t = f(X{1,t}, X_{2,t}) \mbox{ ???} $$ 提前感謝您的幫助和/或參考。
回答
假設Poisson過程[NtMath Processing Error]獨立於布朗運動 $ N_t $ $ (W_{1,t},W_{2,t}) $ ，你會有
[Math Processing Error]$$ \begin{align} df(X_{1,t},X_{2,t}) &= \frac{\partial f}{\partial X_{1,t}} dX_{1,t}^c
- \frac{\partial f}{\partial X_{2,t}} dX_{2,t}^c + \dots \ &+ \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X_{1,t}^2 } d\langle X_{1,t} \rangle_t^c + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X_{2,t}^2} d\langle X_{2,t} \rangle_t^c + \frac{\partial^2 f}{\partial X_{1,t} \partial X_{2,t}} d\langle X_{1,t} X_{2,t} \rangle_t^c + \dots \ &+ \left( f(X_{1,t},X_{2,t}) - f(X_{1,t^-},X_{2,t^-}) \right) dN_t \end{align} $$ 上標在哪裡 $ c $ 表示半鞅的連續部分 $ (X_{i,t}){t \geq 0} $ IE $$ d X{i,t}^c = a_i dt + b_i dW_{i,t},,,, i=1,2 $$ 這樣 $$ d\langle X_{i,t} \rangle_t^c = b_i^2 dt,,,, i=1,2 $$ $$ d\langle X_{1,t}, X_{2,t} \rangle_t^c = \rho b_1 b_2 dt $$ 備註 1：以上所有導數應在[t−Math Processing Error]; $ t^- $
備註 2：我使用了符號 $ \langle X \rangle_t $ 參考可選的二次變化（有時表示為 $ [ X ]_t $ 在文獻中）而不是預可見的二次變分（預可見的二次變分是可選的二次變分的補償器）。如果過程有連續的路徑，這兩個概念是一致的，但在這裡情況並非如此，所以我希望這能澄清事情。
背景
考慮一個非連續半鞅 $ (X_t)_{t \geq 0} $ 的解決方案
$$ dX_t = a dt + b dW_t + c dN_t $$ 期待接下來會發生什麼，我們還介紹了它的連續對應物 $ (X_t^c)_{t \geq 0} $ 驗證 $$ dX_t^c = a dt + bdW_t $$ 在微分形式中，非連續半鞅的廣義 Itô 公式為（參見這個偉大的部落格+ 展示中的方程（2）），
[數學處理錯誤]$$ \begin{align} df(X_t) &= \frac{\partial f}{\partial X_t} dX_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2} d\langle X \rangle_t \dots \ &+ \left( \underbrace{\left( f(X_t)-f(X_{t^-}) \right)}{\Delta f(X_t)} - \frac{\partial f}{\partial X_t} \underbrace{c}{\Delta X_t} - \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2} \underbrace{c^2}_{\Delta X_t^2} \right) dN_t \tag{1} \end{align} $$ 非連續半鞅的二次變分 $ (X_t) $ 計算為
$$ d\langle X \rangle_t = b^2 dt + c^2 dN_t = d\langle X \rangle_t^c + c^2 dN_t $$ 假設Poisson過程獨立於我們工作機率空間下的布朗運動（參見第 15.4 節）。連同滿足的 SDE 的定義 $ (X_t){t \geq 0} $ 這個結果允許我們重寫 $ (1) $ 作為 [數學處理錯誤]$$ \begin{align} \require{cancel} df(X_t) &= \frac{\partial f}{\partial X_t} \left(a dt + b dW_t + \cancel{c dN_t} \right) + \dots \ &\frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2} \left( b^2 dt + \cancel{c^2 dN_t} \right) + \dots \ &+ \left( (f(X_t)-f(X{t^-}) \cancel{- \frac{\partial f}{\partial X_t} c} \cancel{- \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2} c^2} \right) dN_t \end{align} $$ [數學處理錯誤]$$ df(X_t) = \frac{\partial f}{\partial X_t} dX_t^c + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2} d\langle X_t\rangle_t^c + \left( f(X_t)-f(X_{t^-}) \right) dN_t $$ 現在您可以從多元對應物開始重複實驗 $ (1) $ IE
[數學處理錯誤]$$ \begin{align} df(X_t) &= \frac{\partial f}{\partial X_t} dX_t + \frac{\partial f}{\partial Y_t} dY_t + \dots \ &\frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2} d\langle X \rangle_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial Y_t^2} d\langle Y \rangle_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X_t Y_t} d\langle X, Y \rangle_t \dots \ &+ \left( \Delta f(X_t,Y_t) - \frac{\partial f}{\partial X_t} \Delta X_t - \frac{\partial f}{\partial Y_t} \Delta Y_t \dots \
- \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2} \Delta X_t^2
- \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial Y_t^2} \Delta Y_t^2 - \frac{\partial^2 f}{\partial X_t \partial Y_t } \Delta X_t \Delta Y_t \right) dN_t \tag{2} \end{align} $$ 最終得到上述答案。