隨機微分方程中的期望

我是隨機微積分的新手，我想找到 $ X_2 $ 和 $ X_t = \exp(W_t) $ ， 和 $ W_t $ 維納過程。

我使用 Ito 的引理到達 SDE： $$ \begin{align} d(X_t) = \frac{1}{2}X_t dt + X_t dW_t \end{align} $$ 但是我怎樣才能得到平均值 $ X_2 $ ?

假設您在談論無條件期望，通常您有

$$ \mathbb{E}[X_t] = \mathbb{E}[e^{W_t}] = e^{\mathbb{E}[W_t] + \frac{1}{2}\text{Var}(W_t) } $$

產生

$$ \mathbb{E}[X_t]= e^{\frac{1}{2} t} $$

因此，

$$ \mathbb{E}[X_2]= e $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/44854