顯示∫噸0（噸-t)d在噸=∫噸0在噸d噸∫0噸(噸−噸)d在噸=∫0噸在噸d噸int_0^T(T-t)dW_t=int_0^TW_t dt
我想證明$$ \int_0^T(T-t)dW_t=\int_0^TW_t \ dt \tag1 $$
根據伊藤引理，我們可以寫$$ d((T-t)W_t)=(T-t)dW_t-W_t \ dt.\tag{2} $$
現在如果我整合這個表達式並使用它 $ W_0=0 $ 我應該能夠證明積分 $ (1) $ 根據維基百科是等價的。我應該把雙方都融入 $ (2) $ ? 我不明白我應該如何整合 LHS $ (2) $ 表明它是零。這應該很容易，但我的大腦真的凍僵了。
LHS 的積分是
$$ \int_0^T d\left(\left(T - t\right)W_t\right) = \left[\left(T - t\right)W_t\right]_0^T = \left(T - T\right)W_T - \left(T - 0\right)W_0 = 0 $$.
你需要 $ W_0 = 0 $ 獲得最後的平等。
我個人覺得在隨機微積分中使用速記符號很難，所以為了我自己的記錄，以及對速記記號有類似問題的任何人，我添加以下答案。
在提供的維基百科連結上，他們通過說明開始您所指的論點：
…注意： $$ d\left[(T-t)W_t\right]=(T-t)dW_t-W_tdt $$
我喜歡重寫上面的方法是定義 $ F(t,W_t):=(T-t)W_t $ （對於一些 $ 0<t\leq T $ )，並在零附近應用泰勒展開，如下所示：
$$ F(\delta t,\delta W_t)=F(0,W_0)+\frac{\partial F}{\partial t}\delta t+\frac{\partial F}{\partial W_t}\delta W_t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial W_t^2}\delta W_t^2+… $$
綜上所述，我們得到：
$$ F(\delta t,\delta W_t)=-W_t\delta t+(T-t)\delta W_t+0 $$
像往常一樣在“啟發式”伊藤引理推導中，取 $ \delta t \rightarrow dt $ 和 $ \delta t \rightarrow dt \longleftrightarrow \delta W_t \rightarrow dW_t $ ，我們得到：
$$ F(t,W_t)=\int_{h=0}^{h=t}-W_hdh+\int_{h=0}^{h=t}\left(T-h\right)dW_h $$
我們知道上面等於 $ F(t,W_t)=(T-t)W_t $ （這就是我們定義的 $ F $ 在應用伊藤引理之前的一開始）。
最後一步是簡單地設置 $ t=T $ 要得到：
$$ F(T,W_T)=(T-T)W_T=0=\int_{h=0}^{h=T}-W_hdh+\int_{h=0}^{h=T}\left(T-h\right)dW_h $$
所以：
$$ \int_{h=0}^{h=T}W_hdh=\int_{h=0}^{h=T}\left(T-h\right)dW_h $$
按要求。再長一點，甚至可以說“繁瑣”，但對我來說，使用長手記譜法揭示了所有不同的步驟，而短手記譜法似乎只是“機械”，我經常發現自己意識到“我不” t 真正了解底層機制”時使用速記（同樣，可能只是我……）。