證明 SDE 的解是強的
我有以下 SDE
$$ \begin{equation} dX_t = - \frac{1}{1+t}X_t dt + \frac{1}{1+t}dB_t \end{equation} $$
有解決方案：
$$ \begin{equation} \begin{aligned} X_t = \frac{X_0 + B_t}{1+t} = \frac{B_t}{1+t} ;;; X_0 = 0 \end{aligned} \end{equation} $$
現在我如何證明這是一個強有力的解決方案？
我在網上發現我應該證明這兩個條件得到滿足：
$$ \begin{align} |\mu(t,x)| + |\sigma(t,x)| \leq c(1+|x|) \ |\mu(t,x) - \mu(t,y)|+|\sigma(t,x) - \sigma(t,y)| \leq D|x-y| \end{align} $$
我知道 $ \mu(t,x) = \frac{-1}{1+t}X_t $ 和 $ \sigma(t,x) = \frac{1}{1+t} $ 所以第一個不等式是
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \frac{1}{1+t}(|X_t| + 1) \leq c(1 + |X_t|) \ \frac{1}{1+t} \leq c \end{aligned} \end{equation} $$
應該滿足什麼時候 $ t \rightarrow \infty $ LHS 變為 0。對於第二個，我只是不確定如何推進。
評論太長了：
在以上的基礎上， $ \sigma(t,x) = \sigma(t) $ 不依賴於 $ x $ . 因此，計算看起來類似於您使用第一個不等式所做的推導。
讓 $ D<\infty $ 是一個常數並定義，
$$ \sigma(t,\cdot)=\sigma(t)=\frac{1}{1+t}, \qquad \mu(t,X_t) = \frac{-X_t}{1+t} \qquad \text{and} \qquad \mu(t,Y_t) = \frac{-Y_t}{1+t} $$
然後看到：
$$ \begin{align} |\mu(t,x) - \mu(t,y)|+|\sigma(t,x) - \sigma(t,y)| &= \bigg|\frac{-X_t}{1+t} - \left(\frac{-Y_t}{1+t}\right)\bigg| + \bigg|\frac{1}{1+t}-\frac{1}{1+t}\bigg|\ &=\bigg|\frac{1}{1+t} \cdot \left(Y_t - X_t\right)\bigg|\ &=\frac{1}{1+t} |Y_t - X_t|\ &\leq D |X_t - Y_t|, \end{align} $$ 滿足時 $ \frac{1}{1+t}\leq D $ 這是真的 $ t \rightarrow \infty $ . 總之，SDE 滿足 Lipschitz 條件並具有（唯一）強解。我可能錯過了一些數學形式。儘管如此，這就是我處理第二個不等式的方式。