Merton 跳躍擴散 SDE 的解
在許多教科書以及默頓的原始論文中，SDE 的解決方案
$$ dS_t = S_t,\mu,dt+S_t,\sigma,dW_t+S_{t^-},d\left(\sum_{j=1}^{N_t}V_j-1\right) $$ 寫成
$$ S_t = S_0,\exp\left(\left(\mu-\frac{1}{2},\sigma^2\right),t+\sigma,W_t\right),\prod_{j=0}^{N_t}V_j. $$ 有人可以向我推荐一本教科書或論文，其中明確得出了解決方案嗎？我非常有信心這是對半鞅的 Ito 引理的應用。
讓
$$ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t + S_{t^-} dJ_t $$ 在哪裡 $$ J_t = \sum_{j=1}^{N_t} (V_j - 1) $$ 是一個複合Poisson過程，其中 $ V_j $ iid 跳躍大小（正隨機變數），其統計特性與需要證明的內容無關，並且 $ N_t $ 強度的標準Poisson過程 $ \lambda $ . 流程 $ W_t $ , $ N_t $ 和隨機跳躍大小 $ V_j $ 都假設彼此獨立並在相同的機率空間上定義。 將帶有跳躍的半鞅的 Itô 公式應用於函式 $ f(t,S_t) = \ln(S_t) $ 產量（見這裡）
$$ \ln(S_t) = \ln(S_0) + \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t + \int_0^t ( \ln(S_u) - \ln(S_{u^-}) )dN_u $$ 然後我們從 SDE 得到它，在一個跳躍時間 $ u $ $$ S_u - S_{u^-} = S_{u^-} (V_j - 1) \iff S_u = S_{u^-} V_j $$ 這樣 $$ \ln(S_u) - \ln(S_{u^-}) = \ln\left(\frac{S_u}{S_{u^-}}\right) = \ln(V_j) $$ 因此 $$ \ln(S_t) = \ln(S_0) + \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t + \sum_{j=1}^{N_t} \ln(V_j) $$ 最後，因為 $$ \sum_{j=1}^{N_t} \ln(V_j) = \ln \left( \prod_{j=1}^{N_t} V_j \right) $$ 我們得到 $$ \begin{align} S_t &= S_0 \exp \left( \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) t + \sigma W_t \right) \prod_{j=1}^{N_t} V_j \ &= F(0,t) \mathcal{E}(\sigma W_t) \prod_{j=1}^{N_t} V_j \end{align} $$ 和 $ \mathcal{E}(X_t) := \exp(X_t - 1/2 \langle X \rangle_t) $ 表示過程的隨機指數 $ X_t $ （Doleans-Dade 指數）。 更多關於跳轉過程的資訊（以及更好的數學處理，因為我寫的並不總是嚴格的）在這個優秀的文件中
請注意，因為
$$ \begin{align} E_0[S_t] &= F(0,t) E_0\left[\prod_{j=1}^{N_t} V_j\right] \ & \ne F(0,t) \end{align} $$ 上述動態不能用於風險中性定價目的。 為了獲得適當的風險中性框架，複合Poisson過程需要通過漂移項得到補償（以便整體出現為鞅）。生成的 SDE 寫入
$$ dS_t = (\mu - k) S_t dt + \sigma S_t dW_t + S_{t^-} dJ_t $$ 哪裡可以證明
$$ k = \lambda (E(V_1) - 1) $$ 以及在這種情況下的解決方案
$$ S_t = F(0,t) \mathcal{E}(\sigma W_t) e^{-kt} \prod_{j=1}^{N_t} V_j $$