什麼是時間 0 時間的 Libor 價格開始 t 期間噸噸t至t+δ噸噸+d噸t+delta t
我在一次採訪中被問到這個問題。
有人告訴我，正確答案來自這個論點
讓 $ L_0[0,t] $ 表示時間 0 期間 Libor 的價格 $ 0 $ 至 $ t $ .
讓 $ L_0[t,t+\delta_t] $ 表示時間 0 期間 Libor 的價格 $ t $ 至 $ t+\delta t $
$ (1+L_0[0,t])^{-1} $ 今天的美元值 $ 1 $ 美元 $ t $ 因此 $ 1+L_0[t,t+\delta_t] $ 美元 $ t+\delta t $
所以正確答案應該是 $ (1+L_0[0,t])^{-1}-(1+L_0[0,t+\delta t])^{-1} $ 通過將額外的 1 美元折回時間 0。
我明白這一點，但我想
$ 1 $ 今天的美元值 $ 1+L_0[0,t] $ 美元 $ t $ ， 因此 $ (1+L_0[0,t])(1+L_0[t,t+\delta_t]) $ 美元 $ t+\delta t $
這應該與在第 0 期投資 1 美元到 $ t+\delta t $ . 這應該是 $ 1+L_0[0,t+\delta t] $ . 將這些等同起來會給出不同的答案。
$ (1+L_0[0,t])(1+L_0[t,t+\delta_t])= 1+L_0[0,t+\delta t] $
這給 $ L_0[t,t+\delta_t] = (1+L_0[0,t+\delta t])(1+L_0[0,t])^{-1} - 1 $
這是一個因素 $ 1+L_0[0,t+\delta t] $ . 為什麼會這樣？我錯過了什麼？
答案
$$ (1+L_0[0,t])^{-1}-(1+L_0[0,t+\delta t])^{-1} $$不正確。 請注意，由於 $ (1+L_0[0,t])^{-1} $ 美元今天值 $ 1+L_0[t, t+\delta t] $ 有時 $ t+\delta t $ ， 和 $ (1+L_0[0,t+\delta t])^{-1} $ 今天的美元當時值 1 美元 $ t+\delta t $ ， 所以，
$$ (1+L_0[0,t])^{-1}-(1+L_0[0,t+\delta t])^{-1} $$今天的美元價值 $ L_0[t, t+\delta t] $ 有時 $ t+\delta t $ ， 然後 $$ \begin{align*} (1+L_0[0,t])^{-1}-(1+L_0[0,t+\delta t])^{-1} &= L_0[t, t+\delta t] P_0(t+\delta t)\ &=L_0[t, t+\delta t] (1+L_0[0,t+\delta t])^{-1}. \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} L_0[t, t+\delta t] = (1+L_0[0,t+\delta t])(1+L_0[0,t])^{-1} - 1, \end{align*} $$ 這與您在第二部分中的答案相同。
編輯：
這裡，假設 $ L(0, t) = \frac{1}{P_0(t)}-1 $ ， 在哪裡 $ P_0(t) $ 是當時的價格 $ 0 $ 到期的零息債券 $ t $ 和單位面值。