如果付款日期與 Libor 結束日期不同，為什麼會有凸性調整？
3個月的倫敦銀行同業拆借利率，固定在 $ T $ , 3 個月內付款沒有凸性調整。
然而，3 個月 LIBOR 定於 $ T $ ，在 6 個月內支付需要進行凸度調整。
這在數學上是如何顯示的？如何計算這種調整的值？
讓我們表示 $ \delta $ , Libor 的高音 (例如 3M), $ P(t, T) $ 以 1 單位貨幣支付的零息債券價格 $ T $ ， 和 $ L_t(T, T + \delta) $ 遠期 3M Libor 起始於 $ T $ 並結束於 $ T+\delta $ ，從 $ t $ :
$$ L_0(T, T + \delta) = \frac{1}{\delta} \left(\frac{P(0, T)}{P(0, T + \delta)} - 1 \right) $$
普通案例：在 Libor 結束日期付款
對應的現金 $ T+\delta $ 前向測量是 $ P(t, T + \delta) $ , 上面表示的 Libor 是這個度量下的鞅。因此，如果我們考慮在其結束日期支付該 libor $ T+\delta $ ，它的價格是：
$$ \begin{aligned} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[ e^{\int_0^{T+\delta}r(u)du} L(T, T+\delta) \right] &= P(0, T+\delta) \times \mathbb{E}^{T+\delta}[L(T, T+\delta)] \ &= P(0, T+\delta) \times L_0(T, T+\delta) \end{aligned} $$
這兩個術語在 $ t = 0 $ .
例如，這就是普通利率掉期的估值方式，您從今天的曲線中讀取 Libor 遠期，假設正是該遠期將支付或接收，並以零息票貼現。
在不同日期付款 $ T’ \neq T+\delta $
為什麼需要凸度調整？
現在，如果付款是在不同的日期進行的： $ T’ \neq T+\delta $ （例如 $ T + 2\delta $ ） 然後：
$$ \begin{aligned} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[ e^{\int_0^{T’}r(u)du} L(T, T+\delta) \right] &= P(0, T’) \times \mathbb{E}^{T’}[L(T, T+\delta)] \ &\neq P(0, T’) \times L_0(T, T+\delta) \end{aligned} $$
這是因為 Libor 利率不是鞅 $ T’ $ 前瞻性措施，但在 $ T+\delta $ 正如我們在上面看到的，前向測量。使遠期Libor $ L_t(T, T+\delta) $ 出現，我們需要改變措施：
$$ \begin{aligned} \mathbb{E}^{T’}[L(T, T+\delta)] & = \mathbb{E}^{T+\delta} \left[L(T, T+\delta) \times \frac{d\mathbb{Q}^{T’}}{d\mathbb{Q}^{T+\delta}} \right]\ &= \mathbb{E}^{T+\delta} \left[L(T, T+\delta) \right] + \mathbb{E}^{T+\delta} \left[L(T, T+\delta) \left(\frac{d\mathbb{Q}^{T’}}{d\mathbb{Q}^{T+\delta}} -1 \right)\right] \ &= L_0(T, T+\delta) + \underbrace{\mathbb{E}^{T+\delta} \left[L(T, T+\delta) \left(\frac{d\mathbb{Q}^{T’}}{d\mathbb{Q}^{T+\delta}} -1 \right)\right]}_{\text{convexity adjustment term: } Conv(T+\delta, T’)} \end{aligned} $$
我們已經將這筆 Libor 支付的價值表示為零息票和 Libor 遠期的乘積，就像在普通情況下一樣，但這次有一個調整項：
$$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[ e^{\int_0^{T+\delta}r(u)du} L(T, T+\delta) \right] = P(0, T+\delta) \times \left( L_0(T, T+\delta) + Conv(T+\delta, T’) \right) $$
凸度調整項的表達式
所涉及的兩個機率測度的計量單位是到期的零息債券價格 $ T’ $ 和 $ T+\delta $ ， 以便：
$$ \begin{aligned} \frac{d\mathbb{Q}^{T’}}{d\mathbb{Q}^{T+\delta}} &= \frac{P(T, T’)}{P(0,T’)} \times \frac{P(0, T+\delta) }{P(T, T+\delta) }\ &= \frac{P_T(T+\delta, T’)}{P_0(T+\delta, T’)} \end{aligned} $$
導致最終表達式：
$$ Conv(T+\delta, T’) = \mathbb{E}^{T+\delta} \left[L(T, T+\delta) \left(\frac{P_T(T+\delta, T’)}{P_0(T+\delta, T’)} - 1 \right) \right] $$
要明確該術語的價值，您需要一個模型來計算零息債券價格，或等效的 Libor 利率。
因為它們涉及對產品的期望，凸性調整項將涉及到 numéraire 和被評估數量之間的共變異數。
在這種特定情況下，通常假設相關性為 1，並且凸性調整項將取決於 Libor 的波動性。
這是一個假設對數正態 Libor的範例。
考慮一個日期序列 $$ \begin{align*} 0 \leq t_0 \leq T_s < T_e < T_p, \end{align*} $$ 在哪裡 $ t_0 $ 是估值日期， $ T_s $ 是 Libor 開始日期， $ T_e $ 是 Libor 的結束日期，並且 $ T_p $ 是付款日期。讓 $ \Delta_s^e = T_e-T_s $ . 為了 $ 0\le t \le T_s $ ， 定義 $$ \begin{align*} L^e(t, T_s, T_e) = \frac{1}{\Delta_s^e}\bigg(\frac{P(t, T_s)}{P(t, T_e)}-1 \bigg), \end{align*} $$ 在哪裡 $ P(t, \mu) $ 是當時的價格 $ t $ 到期的零息債券 $ \mu $ 和單位面值。此外，讓 $ \Delta_e^p = T_p-T_e $ . 為了 $ 0\le t \le T_e $ ， 定義 $$ \begin{align*} L^p(t, T_e, T_p) = \frac{1}{\Delta_e^p}\bigg(\frac{P(t, T_e)}{P(t, T_p)}-1 \bigg). \end{align*} $$ 此外，讓 $ Q^{T_e} $ 表示 $ T_e $ - 前向測量，和 $ Q^{T_p} $ 表示 $ T_p $ -前向措施。我們假設，在 $ Q^{T_p} $ ， 為了 $ 0\le t \le T_s $ , $$ \begin{align*} dL^e &= \mu(t) dt + \sigma_e L^e dW_t^e, \tag{1}\ dL^p &= \sigma_p L^P\left(\rho dW_t^e + \sqrt{1-\rho^2} dW_t^p \right), \end{align*} $$ 在哪裡， $ \sigma_e $ , $ \sigma_p $ ， 和 $ \rho $ 是恆定的，而 $ {W_t^e, t \ge 0} $ 和 $ {W_t^p, t \ge 0} $ 是兩個獨立的標準布朗運動。
讓 $ E^{T_p} $ 是下的期望運算元 $ T_p $ - 前向測量 $ Q^{T_p} $ . 我們尋求由以下定義的價值 $$ \begin{align*} P(t_0, T_p)E^{T_p}\big(L^e(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}_{t_0}\big). \end{align*} $$
請注意，對於 $ 0 \le t \le T_e $ , $$ \begin{align*} \eta_t \equiv \frac{dQ^{T_e}}{dQ^{T_p}}\big|{t} &= \frac{P(t, T_e)P(t_0, T_p)}{P(t_0, T_e)P(t, T_p)}\ &= \frac{1+\Delta_e^pL^p(t, T_e, T_p) }{1+\Delta_e^pL^p(t_0, T_e, T_p) }. \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} d\eta_t &= \frac{\Delta_e^pL^p(t, T_e, T_p) }{1+\Delta_e^p L^p(t_0, T_e, T_p) }\sigma_p \left(\rho dW_t^e + \sqrt{1-\rho^2} dW_t^p \right)\ &=\frac{\sigma_p\Delta_e^pL^p(t, T_e, T_p) }{1+\Delta_e^p L^p(t, T_e, T_p) }\eta_t\left(\rho dW_t^e + \sqrt{1-\rho^2} dW_t^p \right). \end{align*} $$ 最後， $$ \begin{align*} \hat{W}t^e = W_t^e - \int_0^t \frac{\rho\sigma_p\Delta_e^pL^p(s, T_e, T_p) }{1+\Delta_e^p L^p(s, T_e, T_p) }ds \end{align*} $$ 是一個標準的布朗運動 $ T_e $ - 前向測量 $ Q^{T_e} $ . 所以， $$ \begin{align*} \mu(t) &= -\frac{\rho\sigma_e\sigma_p\Delta_e^pL^p(t, T_e, T_p)}{1+\Delta_e^p L^p(t, T_e, T_p)}L^e(t, T_s, T_e)\ &\approx -\frac{\rho\sigma_e\sigma_p\Delta_e^pL^p(t_0, T_e, T_p)}{1+\Delta_e^p L^p(t_0, T_e, T_p)}L^e(t, T_s, T_e) \end{align*} $$ 在 $ (1) $ 上面，鑑於 $ L^e $ 是鞅 $ T_e $ - 前向測量 $ Q^{T_e} $ . 也就是說，在 $ T_p $ - 前向措施， $$ \begin{align*} dL^e(t, T_s, T_e) &\approx L^e(t, T_s, T_e)\left(-\frac{\rho\sigma_e\sigma_p\Delta_e^pL^p(t_0, T_e, T_p)}{1+\Delta_e^p L^p(t_0, T_e, T_p)} dt + \sigma_e dW_t^e\right), \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} L^e(T_s, T_s, T_e) &\approx L^e(t_0, T_s, T_e)\exp\bigg(-\frac{\rho\sigma_e\sigma_p\Delta_e^pL^p(t_0, T_e, T_p)}{1+\Delta_e^p L^p(t_0, T_e, T_p)}(T_s-t_0) \ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -\frac{\sigma^2}{2}(T_s-t_0) + \sigma \big(W{T_s}^e -W{t_0}^e\big) \bigg) \end{align*} $$
而且， $$ \begin{align*} &\ P(t_0, T_p)E^{T_p}\big(L^e(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}_{t_0}\big) \ \approx&\ P(t_0, T_p)L^e(t_0, T_s, T_e) \exp\left(-\frac{\rho\sigma_e\sigma_p\Delta_e^pL^p(t_0, T_e, T_p)}{1+\Delta_e^p L^p(t_0, T_e, T_p)}(T_s-t_0) \right)\ \approx&\ P(t_0, T_p)L^e(t_0, T_s, T_e)\left(1- \frac{\rho\sigma_e\sigma_p\Delta_e^pL^p(t_0, T_e, T_p)}{1+\Delta_e^p L^p(t_0, T_e, T_p)}(T_s-t_0)\right). \end{align*} $$ 在這裡，術語 $$ \begin{align*}
- \frac{\rho\sigma_e\sigma_p\Delta_e^pL^p(t_0, T_e, T_p)L^e(t_0, T_s, T_e)}{1+\Delta_e^p L^p(t_0, T_e, T_p)}(T_s-t_0) \end{align*} $$ 可以看作是凸度調整。