股票價格是對數正態 - 正式定義
我正在為“股票價格是對數正態”的確切含義而苦苦掙扎（以及它用於顯示回報的正態性）。我的假設是給定的 $ {S_t} $ 是股票價格和回報被定義為 $ r_t = \frac{S_t-S_{t-1}}{S_{t-1}} $ , 那麼我們假設 $ S_t $ 是對數正態的，然後：
$$ \log(1+r_t)=\log\left(\frac{S_{t-1}+S_t-S_{t-1}}{S_{t-1}}\right)=\log\left(\frac{S_t}{S_{t-1}}\right)=\log(S_t)-\log(S_{t-1}) \tag{1} $$
因為這將是兩個正常變數的總和，所以結果是正常的，這讓我們可以展示 $ \log(1+r_t) $ 是正常的。
但是，我正在閱讀以下連結：
在其中，作者說（為了便於比較，我用我的符號代替了他的符號）：
如果我們假設價格是正態分佈的對數分佈（實際上，對於任何給定的價格序列，這可能是正確的，也可能不是正確的），那麼 $ \log(1+r_i) $ 方便地服從正態分佈，因為：
$$ 1+r_i=\frac{S_{t}}{S_{t-1}}=\exp\left(\log\left(\frac{S_t}{S_{t-1}}\right)\right)\tag{2} $$.
從對數正態的定義，為了右邊的內項（即 $ \log\left(\frac{S_t}{S_{t-1}}\right) $ ) 要正常，我們需要 $ 1-r_i $ 為對數正態。但這對我來說似乎與“價格是對數正態的”不同。以下交叉驗證答案對此更有意義，即第 ii) 部分，其中回答者提到了條件對數正態性，或者價格中對數正態性的假設通常是指 $ \frac{S_t}{S_{t-1}} $ ，這將滿足等式2。
總而言之，在價格中定義對數正態假設的正確方法是什麼？如果我只是想多了，我很抱歉。謝謝！
實際上，股票價格既不是對數正態分佈的，回報也不是正態分佈的。更複雜的模型放棄了這個假設。例如，與正態分佈所暗示的相比，回報率的峰值更高，尾巴也更胖。
然而，在簡單的模型中，例如 Black 和 Scholes (1973) 模型，假設股票價格滿足 SDE $ \frac{\mathrm{d}S_t}{S_t}=\mu \mathrm{d}t+\sigma \mathrm{d}W_t $ 這意味著股票價格的變化與其目前價格成正比——這是相當合理的，直接意味著瞬時回報 $ \frac{\mathrm{d}S_t}{S_t}=\mathrm{d}\ln(S_t) $ 是正態分佈的。
在你的報價中， $ S_t $ 是對數正態分佈的，所以是 $ \frac{S_t}{S_{t-1}} $ 暗示著 $ 1+r_t $ 也是對數正態分佈的。因此， $ \ln(1+r_t) $ 確實如所聲稱的那樣正態分佈。
從歷史上看，首先考慮的是正態分佈的價格（例如算術布朗運動的模型），但薩繆爾森引入了幾何布朗運動以避免負面影響。布萊克和斯科爾斯建立在這種洞察力之上。因此，價格總是正的，但回報可能是負的。
請注意，股票價格及其回報都是隨機過程，因此“ $ S_t $ 是對數正態分佈的”實際上意味著隨機變數 $ S_t(\omega) $ 遵循每個固定時間點的對數正態分佈 $ t>0 $ .