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連續複利收益率可能小於預期收益率有哪些實際意義？
我正在閱讀赫爾的期權、期貨和其他衍生品，令我感興趣的是，連續複合收益率 x 的分佈是： $ x \sim \phi(\mu - \frac{\sigma^2}{2}, \frac{\sigma^2}{T}) $
這發生在： $ \frac{\Delta S}{S} \sim \phi(\mu \Delta t, \sigma^2\Delta t) $
我的問題是：有什麼實際意義 $ \mu - \frac{\sigma^2}{2} < \mu $ ? 這是否意味著雖然大多數時候你的回報會低於 $ \mu $ ，你的預期回報是 $ \mu $ ?
Ernest P. Chan說：
假設某隻股票表現出真正的（幾何）隨機遊走，我的意思是股票每分鐘上漲 1% 或下跌 1% 的可能性為 50-50。如果你買這隻股票，從長遠來看，你最有可能賺錢、虧錢還是持平？… 大多數交易者會脫口而出“平倉！”的答案，這是錯誤的。正確答案是你會以每分鐘 0.005% 的速度賠錢！
這是否意味著儘管大多數時候你的回報會小於 μ，但你的預期回報是 μ？
您問題中的關鍵詞是複合的。每個人的預期算術回報 $ \Delta t $ 是 $ \mu $ , 但增長率為 $ \mu - \frac{\sigma^2}{2} $ . 正如其他人所提到的，波動性會降低增長率。
這類似於矩形的面積。如果一個矩形有邊 3 和 1，它的平均邊長是 2，它的面積是 3。如果另一個是長為 2 的正方形，它的平均邊長也是 2，但面積是 4。可變性減少了相對於平均邊長。