證明 Markowitz 方法推導中的行列式大於零
我想證明出現在投資組合分配的 Markowitz 方法中的以下行列式大於零。( $ \mu $ 是返迴向量和 $ \sum $ 是共變異數矩陣）
上面的評論是所有的條目 $ \mu $ 不一樣是真的，但如果你製作有問題的 2x2 行列式，可以將其刪除 $ \ge 0 $ 代替 $ > 0 $ . 評論者當然知道這一點。
您的問題的答案可以通過應用 Cauchy-Schwartz 不等式以及對稱正定矩陣具有平方根的知識來獲得。
自從 $ \Sigma^{-1} $ 是正定的，存在一個對稱矩陣 $ A $ 這樣 $ A^2=\Sigma^{-1} $ . 有人可能會說 $ A=\Sigma^{-1/2} $ . 的存在 $ A $ 可以看出 $ \Sigma^{-1} $ 是可對角化的。看那個。
讓我們稱您的 2x2 行列式 $ D $ . 注意 $ D $ 可以表示為一堆內積如下：
$$ <\Sigma^{-1}\mu, \mu><\Sigma^{-1}1_n,1_n>-<\Sigma^{-1}\mu,1_n><\Sigma^{-1}1_n, \mu> $$ 自從 $ \Sigma^{-1} $ 是對稱實數的，它是自伴隨的，這意味著第二項中的乘積是相等的（第二個相等是因為我們在一個實向量空間中——在一個複向量空間中，我們需要取复共軛以保持相等）：
$$ <\Sigma^{-1}\mu,1_n>=<\mu,\Sigma^{-1}1_n>=<\Sigma^{-1}1_n,\mu> $$ 讓我們重寫 $ A $ :
$$ <A^2\mu,\mu><A^21_n,1_n>-<A^2\mu, 1_n>^2 $$ 同樣，A 是對稱實數的，所以它也是自伴的，這就變成：
$$ <A\mu,A\mu><A1_n,A1_n>-<A\mu,A1_n>^2 $$ 柯西-施瓦茨不等式終結了我們。提醒一下，Cauchy-Schwarz 不等式表明使用通常的內積 $ R^n $ 或者 $ C^n $ ，我們得到：
$$ |<x,y>| \le <x,x>^{1/2}<y,y>^{1/2} $$ 所以我們得到：
$$ <A\mu,A1_n>^2 \le <A\mu,A\mu><A1_n,A1_n> $$ 然後減去這個不等式兩邊的左手邊給我們 $ D \ge 0 $ .