為什麼會有一個1212frac{1}{2}在投資組合變異數公式之前？
誰能解釋我在哪裡 $ \frac12 $ 來自表達式 $ \frac{1}{2} \omega’\Sigma \omega $ ?
這是為了得到最小變異數投資組合（也有一些約束）而最小化的表達式。
$ \omega $ 是權重向量和 $ \Sigma $ 是共變異數矩陣。
這已經被處理過多次了。正如@Dom 解釋的那樣，目的是簡化偏導數。
為了說明起見，假設只有兩個具有權重向量的資產 $ \omega=(\omega_1,\omega_2) $ ，然後我們尋求最小化形式的函式： $$ f(\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{2}\left(\omega_1^2\sigma_2^2+\omega_2^2\sigma_2^2+2\omega_1\omega_2\sigma_1\sigma_2\rho\right)-\gamma(\omega_1r_1+\omega_2r_2) $$ 在哪裡 $ r_i $ 是預期回報， $ \sigma_i^2 $ 回報變異數， $ \rho $ 回報的相關性和 $ \gamma $ 一些風險厭惡參數。然後， $ i\not=j $ : $$ \begin{align} &\frac{\partial}{\partial\omega_i}f(\omega_1,\omega_2) =\frac{1}{\color{blue}{2}}(\color{blue}{2}\omega_i\sigma_i^2+\color{blue}{2}\omega_j\sigma_i\sigma_j\rho)-\gamma r_i =\omega_i\sigma_i^2+\omega_j\sigma_i\sigma_j\rho-\gamma r_i \end{align} $$ 這只是為了方便，因為如您所見，係數 $ \color{blue}{2} $ 被取消 $ \color{blue}{\frac{1}{2}} $
通常，二次優化程序通常用 $ \frac{1}{2} $ 因素。例如在機器學習中，支持向量機的標準公式也包括這個因素。
我們在經濟學和金融經濟學中使用的很多東西都是無關緊要的，但很實用。如果你有一個二次程序，包括這個分數可以方便地擺脫一階條件中的討厭常數。
具體來說， $ \nabla_\omega \omega’ \Sigma \omega = (\Sigma + \Sigma’) \omega $ ，使用向量是列向量的約定。但是由於 $ \Sigma $ 是共變異數矩陣， $ \Sigma = \Sigma’ $ 因此， $ \nabla_\omega \omega’ \Sigma \omega = 2 \Sigma \omega $ . 在這裡不難看出為什麼有人會在前面放一個分數！現在，如果你的目標是最小化你的投資組合的變異數 $ \omega’ \Sigma \omega $ , 可能受到一些約束, 那麼對於任何嚴格單調遞增的函式 $ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ , 與最小化相同 $ f(\omega’ \Sigma \omega) $ 碰巧乘以一個嚴格的正常數就是這種函式的一個例子。
另一個非常常見的例子是使用 Cobb-Douglas 效用函式。如果你在取效用函式的自然對數後解決問題，看看發生了什麼會快一點。
當使用 GARCH 動態和離散時間模型時，在期權定價文獻中可以發現稍微偶然的變化。我們通常在基礎價格的均值方程中包含一個凸性修正項，這樣當您取指數的預期值時，與誤差項相關的值和這個加法相抵消，您就會得到一個簡單的平均值。