Showing the discounted stock is a martingale
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It is tempting to write
[數學處理錯誤]$$ V_0(X) = \beta\left[\left(\frac{\beta^{-1}S_0 - S_1(d)}{S_1(u) - S_1(d)}\right)X(u) + \left(\frac{S_1(u) - \beta^{-1}S_0}{S_1(u) - S_1(d)}\right)X(d)\right] $$ 作為 $$ V_0(X) = E_Q[\beta X] $$其中期望是針對新的純形式機率測度進行的 $ Q $ 被定義為$$ Q(u) = \frac{\beta^{-1}S_0 - S_1(d)}{S_1(u) - S_1(d)} $$和$$ Q(d) = \frac{S_1(u) - \beta^{-1}S_0}{S_1(u) - S_1(d)} $$ 注意 $ Q(u) + Q(d) = 1 $ ;[數學處理錯誤] $ Q $ 將是一個機率度量，前提是這些值是非負的。
問題：
數量[數學處理錯誤] [數學處理錯誤] $ \frac{S}{B} $ 稱為折現股價。稍後會注意到定價措施將很有用 $ Q $ 關於折現股票價格有一個特殊性質：它使折現股票成為鞅，即，
[數學處理錯誤]$$ \frac{S_0}{B_0} = E_{Q}[S_1/B_1] $$ 我很好奇如何驗證這一點。我認為我們需要展示雙方，但我不確定如何進行。
在你的設置中， $ \beta = B_0 B_1^{-1} $ . 然後
[數學處理錯誤]$$ \begin{align*} E_Q(S_1/B_1) &= Q(u)S_1(u)/B_1 + Q(d)S_1(d)/B_1\ &=\frac{\beta^{-1}S_0 - S_1(d)}{S_1(u) - S_1(d)}S_1(u)/B_1 + \frac{S_1(u) - \beta^{-1}S_0}{S_1(u) - S_1(d)}S_1(d)/B_1\ &=\frac{\beta^{-1}S_0S_1(u)/B_1 - S_1(d)S_1(u)/B_1 + S_1(u)S_1(d)/B_1-\beta^{-1}S_0S_1(d)/B_1}{S_1(u) - S_1(d)}\ &=\beta^{-1}S_0/B_1\ &=\frac{S_0}{B_0}. \end{align*} $$