抵押證券提前還款速度和YTM
從富達投資的MBS-CMOs 手冊中，我讀到：
對於以面值折價購買的證券，較快的提前還款率會增加到期收益率，而較慢的提前還款率會降低到期收益率。對於溢價購買的證券，較快的提前還款率會降低到期收益率，而較慢的利率會增加到期收益率。對於按面值購買的證券，應減少這些影響
這些結果背後的代數是什麼？
我可以通過一個例子給你一個簡單的直覺，基於固定利率抵押債券就像普通債券一樣，除了期限不確定。
假設您有 2% 的息票債券，預期期限為 2 年。假設您以 98% 的價格購買此產品。然後，如果它確實在 2 年後到期，收益率將約為 3%（票息加上 2% 的投資收益分佈在 2 年內）。另一方面，如果它在 1 年後到期，收益率將約為 4%（2% 的息票加上 2% 的收益僅在 1 年內分攤）。如果它在 4 年後到期，收益率將在 2.5% 左右，因為投資收益會進一步分散。
另一方面，如果以 102% 的價格購買債券，則 2 年期的收益率約為 1%（息票減去 2% 的分攤到 2 年的損失）。如果到期只有一年，那麼收益率將接近於零，因為投資損失完全抵消了票面收入。
我相信這可以用一些債券數學代數來概括，但原理應該很清楚。
我對預付款速度發生變化的情況感到有些畏縮，但證券的可觀察市場價格沒有變化（因此，只有收益率會做出反應）。
我將用一個簡單的範例債券進行類比。
想像一個每年支付固定息票的 3 年期債券 $ C $ ，並且債券發行人有權在第 1 年或第 2 年之後償還全部本金（無部分提前還款；Bermudan call）。有 3 種可能的現金流情況：
第 1 年預付款：
- 優惠券 $ C $ 和 1 年內的全部本金
第 2 年預付款：
- 優惠券 $ C $ 1年內
- 優惠券 $ C $ 和校長在 2 年內
3 年到期支付，無需提前還款：
- 優惠券 $ C $ 1年內
- 優惠券 $ C $ 2年內
- 優惠券 $ C $ 和校長在 3 年內
首先假設範例債券在市場上完全按面值交易（即您的初始現金流正好支付-1）。然後，當您在 3 種預付款場景下求解收益率（內部收益率）時，您應該得到收益率 $ y = $ 優惠券 $ C $ 每一次。
$$ 0 = -1 + \frac{1+C}{(1+y)^1} $$
$$ 0 = -1 (1+y) + (1+C) $$
$$ y = C $$
你得到相同的解決方案
$$ 0 = -1 + \frac{C}{(1+y)^1} + \frac{1+C}{(1+y)^2} $$
$$ 0 = -1 + \frac{C}{(1+y)^1} + \frac{C}{(1+y)^2} + \frac{1+C}{(1+y)^3} $$
相反，假設債券的交易價格低於面值（投資者支付 $ 1-\epsilon $ 最初是為了一些小的積極 $ \epsilon $ ）。對於 1 年情景，
$$ 0 = -(1-\epsilon) + \frac{1+C}{(1+y)^1} $$
$$ 0 = (-1+\epsilon) (1+y) + (1+C) $$
$$ 0 = -1-y+\epsilon+\epsilon y + 1+C $$
$$ y= \frac{C+\epsilon}{1-\epsilon} $$
那麼 3 種預付情景下的收益率均高於 $ C $ （為了增加分母和更多地貼現收到的流量，以便仍然匹配較低的價格），但不再彼此相等；發行人越早償還本金，收益率越高 $ y $ .
相反，假設債券的交易價格高於面值（投資者支付 $ 1+\epsilon $ 最初）。那麼3種情景下的收益率都低於C；發行人等待償還本金的時間越長，收益率越高 $ y $ .
這就是它的所有代數。我們在這裡將預付場景設為離散，但我們可以將它們設為連續（即，呼叫 Ameeican 而不是 Bermudan），和/或允許部分預付而不是子彈，然後考慮收益率對微小變化的瞬時敏感性在提前還款速度或加權平均壽命其他條件不變的情況下，假設價格保持不變。
但我真的不認為這種方法傳達了對市場行為的正確直覺。這就像假設投資級公司債券的價格在國債變動時不會變動（或者有點像眾所周知的真空中的球形奶牛）。如果市場參與者改變他們對每種提前還款情景可能性的假設，我們範例債券的價格就不太可能保持不變。
如果，雖然每個人都假設範例債券將在 2 年內被完全贖回，並且它的交易價格為面值（收益率 $ C $ , 等於一些價差 $ s $ 超過 2 年的國債收益率），然後突然每個人都決定在 3 年內償還本金，那麼市場上觀察到的範例債券的新收益率將大約等於幾乎不變的利差 $ s $ 超過 3 年的國債收益率（與 2 年的收益率不同）；並且有人會從新的收益率中退出價格。
同樣，提前還款假設以復雜的方式對利率假設作出反應。