改變計價公式
Numeraire 公式的一般變化給出以下 Radon-Nikodym 導數：
$$ \frac{dN_2}{dN_1}(t)|\mathcal{F}_{t_0}=\frac{N_1(t_0)N_2(t)}{N_1(t)N_2(t_0)} $$
我能夠為特定範例推導出此 Radon-Nikodym，例如從風險中性度量更改 $ Q $ 與零息債券相關的 T-Forward Measure $ P(t_0,t) $ ：在這種情況下，我們有 $ Q $ :
$$ \frac{S_0}{N_Q(t_0)=1}=\mathbb{E}^Q\left[\frac{S_t}{N_Q(t)=e^{rt}}|\mathcal{F}_{t_0}\right] $$
以便：
$$ (i) S_0 = \mathbb{E}^Q\left[S_t\frac{N_Q(t_0)=1}{N_Q(t)=e^{rt}}|\mathcal{F}_{t_0}\right] $$
根據 T-forward 債券計價法：
$$ \frac{S_0}{N_{P}(t_0)=P(t_0,t)}=\mathbb{E}^{P_t}\left[\frac{S_t}{N_P(t)=1}|\mathcal{F}_{t_0}\right] $$
以便：
$$ (ii) S_0 = P(t_0,t)\mathbb{E}^{P_t}\left[\frac{S_t}{N_P(t)=1}|\mathcal{F}_{t_0}\right] $$
等式 (i) 到 (ii) 我們得到：
$$ \mathbb{E}^Q\left[S_t\frac{N_Q(t_0)}{N_Q(t)}|\mathcal{F}{t_0}\right]=N_P(t_0)\mathbb{E}^{P_t}\left[\frac{S_t}{N_P(t)}|\mathcal{F}{t_0}\right] $$
自從 $ N_P(t) $ 有時 $ t $ 根據定義是常數（等於 1），很容易將其排除在預期之外，並將 LHS 上的所有 Numeraire 項分組，因此：
$$ \mathbb{E}^Q\left[S_t\frac{N_Q(t_0)N_P(t)}{N_Q(t)N_P(t_0)}|\mathcal{F}{t_0}\right]=\mathbb{E}^{P_t}\left[S_t|\mathcal{F}{t_0}\right] $$
結果如下是檢查。
注：一般來說，計價 $ N_2(t) $ 在時間上不會是一個常數 $ t $ ，就像與 T 遠期到期債券相關的計價方式一樣。所以不可能採取 $ N_2(t) $ 出乎意料 $ \mathbb{E}_{t_0}^{N_2}[] $ 如上例。因此，將所有計價項分組並通過檢查推導出Radon-Nikodym 導數並不是那麼直接。
問題：在一般情況下如何****推導或證明Numeraire Radon-Nikodym 公式的變化？（不像上面的例子那樣考慮具體的計價器）。
我們在機率空間上工作 $ (\Omega,\mathcal{N},\mathfrak{F}) $ 帶過濾 $ (\mathfrak{F}t){0\leq t\leq T} $ 和 $ \mathfrak{F}_T:=\mathfrak{F} $ . 讓 $ \xi $ 做一個 $ \mathfrak{F}_T $ - 可計量的或有債權，以及 $ N_t $ 和 $ M_t $ 兩種價格為正的資產。我們假設過程 $ M_t/N_t $ 是機率測度下的鞅 $ \mathcal{N} $ . 定義為 $ 0\leq t\leq T $ 過程： $$ Z_t:=E^\mathcal{N}\left(\left.\frac{N_0M_T}{N_TM_0}\right|\mathfrak{F}t\right) = \frac{N_0M_t}{N_tM_0} $$ 我們注意到 $ E^\mathcal{N}(Z_t)=1 $ 對所有人 $ t $ 根據鞅屬性。因此隨機變數 $ Z:=Z_T $ 是有效的 Radon-Nikodym 導數並且 $ Z_t $ 其相關過程： $$ Z_t=\left.\frac{d\mathcal{M}}{d\mathcal{N}}\right|{\mathfrak{F}t} $$ 我們可以定義一個新的機率測度 $ \mathcal{M} $ 如下： $$ \mathcal{M}(E):=\int_EZ(\omega)d\mathcal{N}(\omega)=E^\mathcal{N}(1{E}Z) $$ 現在定義 $ \mathfrak{F}_T $ - 可測量的隨機變數： $$ Y:=\frac{\xi}{M_T} $$ 根據 Shreve (2004) 中的引理 5.2.2： $$ \begin{align} \tag{1} E^\mathcal{M}\left(\left.Y\right|\mathfrak{F}_t\right) & = \frac{1}{Z_t}E^\mathcal{N}\left(\left.YZ_T\right|\mathfrak{F}_t\right) \[6pt] & = \frac{1}{E^\mathcal{N}\left(\left.\frac{M_T}{N_T}\right|\mathfrak{F}_t\right)} E^\mathcal{N}\left(\left.\frac{\xi}{N_T}\right|\mathfrak{F}_t\right) \end{align} $$ 那是： $$ \begin{align} M_tE^\mathcal{M}\left(\left.\frac{\xi}{M_T}\right|\mathfrak{F}_t\right) =N_tE^\mathcal{N}\left(\left.\frac{\xi}{N_T}\right|\mathfrak{F}t\right) \end{align} $$ 作為附錄，請注意，我們可以根據 Equation 進行以下構造 $ (1) $ : $$ \left.\frac{d\mathcal{M}}{d\mathcal{N}}\right| {\mathfrak{F}_t}^{\mathfrak{F}_T} := \frac{N_tM_T}{N_TM_t} = \frac{N_tM_0}{N_0M_t}\frac{N_0M_T}{N_TM_0} = \frac{Z_T}{Z_t} $$