從 Coupon OIS Swaps 建構折扣的零曲線
這個網站上有一些涉及這個主題的問題和答案，但沒有一個真正一步一步地展示如何引導優惠券 OIS 交換曲線來建構折扣零曲線。
引導債券曲線很容易：假設我們有三隻債券，年息和期限分別為 1 年、2 年和 3 年。這些債券以價格交易 $ PV_1 $ , $ PV_2 $ 和 $ PV_3 $ , 面值 $ N $ 和年度百分比優惠券 $ C_1 $ , $ C_2 $ & $ C_3 $ .
1y期限零利率" $ x $ " 簡單地解決 $ PV_1=\frac{N+C_1}{1+x} $ .
2y期限零利率" $ y $ “然後解決 $ PV_2=\frac{C_2}{1+x}+\frac{N+C_2}{(1+y)^2} $ .
3y期限零利率” $ z $ “然後解決 $ PV_3=\frac{C_3}{1+x}+\frac{C_3}{(1+y)^2}+\frac{N+C_3}{(1+z)^3} $ .
我的問題是：如果我們有三個 OIS 互換，期限分別為 1y、2y 和 3y，它們的（年）固定利率是 $ r_1 $ , $ r_2 $ 和 $ r_3 $ 分別，我們如何引導這些交換？什麼是等價的 $ PV_1 $ , $ PV_2 $ 和 $ PV_3 $ 在這些掉期？
來自 Paul Miron 和 Philip Swannell 的定價和對沖掉期：
在這裡，我將採用輸入率： $ r_{1y} $ , $ r_{2y} $ , $ r_{3y} $ 並為每個男高音創建 DF 值 $ df_{1y} $ , $ df_{2y} $ , $ df_{3y} $ ，從而創建零息票互換曲線利率 $ z_{1y} $ , $ z_{2y} $ , $ z_{3y} $ .
這本書展示了這個公式如何表示掉期的固定和浮動現金流（假設固定原則）：
$ PV(\text{swap_1y}) = -Pdf_0 + Pr_{1y}\alpha_{0,1y}df_{1y} + Pdf_{1y} $
$ P = \text{principle} $
$ df_x = \text{discount factor at some tenor } x $
$ \alpha_{a, b} = \text{year fraction (using the day count basis of the fixed leg of the swap) between tenors } a \text{ and } b $
$ r_x = \text{quote for the fixed leg of an annual swap for some tenor } x $
所以既然我們知道交換 $ PV(\text{swap_1y}) = 0 $ 然後我們可以看到：
$ df_{1y} = \frac{df_0}{1+r_{1y}\alpha{0,1y}} $
因此，我們可以將其擴展到 2Y 和 3Y 的情況：
$ PV(\text{swap_2y}) = -Pdf_0 + Pr_{2y}\alpha_{0,1y}df_{1y} + Pr_{2y}\alpha_{1y,2y}df_{2y} + Pdf_{2y} $
$ PV(\text{swap_3y}) = -Pdf_0 + Pr_{3y}\alpha_{0,1y}df_{1y} + Pr_{3y}\alpha_{1y,2y}df_{2y} + Pr_{3y}\alpha_{2y,3y}df_{3y} + Pdf_{3y} $
再次設置 $ PV(\text{swap_2y}) = 0 $ 和 $ PV(\text{swap_3y}) = 0 $ 我們有：
$ df_{2y} = \frac{df_0-r_{2y}\alpha_{0,1y}df_{1y}}{1+r_{2y}\alpha_{1y,2y}} $
$ df_{3y} = \frac{df_0-r_{3y}(\alpha_{0,1y}df_{1y} + \alpha_{1y,2y}df_{2y})}{1+r_{3y}\alpha_{2y,3y}} $
在這一點上，我們已經將曲線引導到 3Y。然後為了創建零曲線值，我可以為任何男高音執行 $ x $ :
$ z_{x} = \frac{1}{df_x}^\frac{1}{t_{0,x}} - 1 $
$ t_{a, b} = \text{Year fraction of your choice, suppose ACT/ACT, from } a \text{ to } b $