Accuracy Rebonato Swaption Approximation Formula among Different Strikes
有人可以解釋一下 Rebonato 互換波動率近似公式是否僅適用於ATM 罷工，如果是，為什麼？它也可以用於 ITM 和 OTM 罷工嗎？
我的創立：
讓 $ 0 < T_0 < T_1 < \ldots < T_N $ 是一個男高音結構。考慮一個付款人掉期期權，它有權以 $ T_0 $ 浮動和固定腿的付款 $ T_1,\ldots,T_N $ . 固定利率設置為 $ K $ .
我在 Matlab 中實現了 Rebonato 交換波動率近似公式為
$$ \upsilon^{REB}= \sqrt{\frac{\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{k=0}^{N-1}w_n\left(0\right)w_k\left(0\right)L_n\left(0\right)L_k\left(0\right)\rho_{n,k}\int_0^{T_0}\sigma_n\left(t\right)\sigma_k\left(t\right)dt}{SwapRate\left(0\right)^2}}\ =\sqrt{\frac{\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{k=0}^{N-1}w_n\left(0\right)w_k\left(0\right)L_n\left(0\right)L_k\left(0\right)\rho_{n,k}\int_0^{T_0}\sigma_n\left(t\right)\sigma_k\left(t\right)dt}{\sum_{n=0}^{N-1}w_n\left(0\right)L_n\left(0\right)}}, $$ 在哪裡 $ L_n\left(0\right):=L\left(0;T_n,T_{n+1}\right) $ 表示初始 Libor 曲線和 $ w_n\left(0\right) $ 權重定義為 $$ w_n\left(t\right) = \frac{\tau_n P\left(t,T_{n+1}\right)}{\sum_{r=0}^{N-1} \tau_r P\left(t,T_{r+1}\right)}, $$
和 $ \tau_n =T_{n+1}-T_n $ . 瞬時波動率 $ \sigma_n\left(t\right) $ 由以下參數化給出；
$$ \sigma_n\left(t\right) = \phi_n\left(a+b\left(T_n-t\right)\right)e^{-c\left(T_n-t\right)}+d. $$ 及時獲取掉期價格 $ 0 $ ，我在 Black 的論壇中使用了這種交換近似作為輸入；
$$ V_{swaption}\left(0\right) = Black\left(K,SwapRate\left(0\right),\upsilon^{REB}\right)\ =Black\left(K,\sum_{n=0}^{N-1}w_n\left(0\right)L_n\left(0\right),\upsilon^{REB}\right) $$ 為了獲得 Rebonato 近似公式的準確性，我比較了通過將近似波動率插入 Black（如上）獲得的各種掉期期權的價格和通過進行 1000000 次模擬的蒙特卡羅評估獲得的價格。
我對不同打擊之間的準確性特別感興趣 $ K $ . 為了說明這一點，考慮 4Y10Y 掉期期權及其對應的 ATM 、ATM+1%、ATM+2% 和 ATM+3% 行使價（ATM 行使價是 $ K=SwapRate\left(0\right) $ ).
我的基礎是，當您遠離 ATM 罷工時，近似值會變得更糟（蒙地卡羅價格與 Rebonato 掉期期權價格之間的差異近似波動性增加）。具體而言，ATM 罷工的差異為 9 個基點，而 ATM+3% 的差異為 36 個基點。
我在文獻中搜尋了解釋，但找不到任何解釋。據我所知，在推導 Rebonato 公式時沒有做出任何演變罷工的假設。
Brigo 和 Mercurio 還在他們的《利率模型 - 理論與實踐》一書中對 Rebonato 公式進行了準確性測試，即：
“結果是基於雷波納托公式與插入布萊克公式的波動率的比較，得出相應的平價掉期期權的蒙地卡羅價格。”
此外，Jäckel 和 Rebonato 在他們的論文“Linking Caplet and Swaption Volatilities in a BGM/J Framework: Approximate Solutions”中通過比較 Rebonato 波動率和 Monte Carlo ATM 價格獲得的 ATM 掉期價格，分析了近似值的執行情況。
我只能找到 ATM 掉期的結果是巧合，還是 Rebonato 的掉期波動率近似公式對於 ITM 和 OTM 掉期真的表現不佳？
任何幫助表示讚賞。提前致謝。
它當然在金錢上效果最好。為什麼？我認為這是因為布萊克的公式在金錢上幾乎是線性的。近似值
$$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \operatorname{SR} \sigma \sqrt{T} A, $$ 和 $ A $ 年金非常好。 推導這些公式的一種方法是做一個漸近/泰勒展開關於 $ \sigma=0. $
感謝您的回答@MarkJoshi。我聽從了您的建議，並得出了近似公式。但是，我不能完全理解為什麼布萊克的公式是線性的 $ \sigma $ 對於 ATM 罷工，Rebonato 近似僅對 ATM 罷工準確，而對 OTM 和 ITM 罷工不准確。
如果有人能指出我正確的方向，我將不勝感激
我的創立：
我得出的近似值如下：將年金因子定義為
$$ A_{0,N}\left(t\right):=\sum_{n=0}^{N-1}\tau_nP\left(t,T_{n+1}\right) $$ 和掉期利率為 $$ S_{0,N}\left(t\right):=\frac{\sum_{n=0}^{N-1}\tau_nP\left(t,T_{n+1}\right)L_n\left(t\right)}{A_{0,N}\left(t\right)} $$ 布萊克公式可以寫成 $$ Black\left(0\right)=A_{0,N}\left(0\right)\left[S_{0,N}\left(0\right)N\left(d_1\right)-KN\left(d_2\right)\right] $$ 在哪裡 $$ d_1=\frac{\log\left(S_{0,N}\left(0\right)/K\right)+\frac{\sigma^2T}{2}}{\sigma\sqrt{T}} $$ 和 $$ d_2=d_1-\sigma\sqrt{T} $$ 考慮到 ATM 罷工 $ K=S_{0,N}\left(0\right) $ ，我得到： $$ Black\left(0\right)=A_{0,N}\left(0\right)\left[S_{0,N}\left(0\right)\left(N\left(\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\right)-N\left(-\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\right)\right)\right] $$ $$ =A_{0,N}\left(0\right)\left[S_{0,N}\left(0\right)\left[N\left(0\right)+\frac{N’\left(0\right)}{1!}\left(\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\right)+\frac{N’’\left(0\right)}{2!}\left(\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\right)^2+O\left(\sigma^3T^{3/2}\right)-\left(N\left(0\right)+\frac{N’\left(0\right)}{1!}\left(-\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\right)+\frac{N’’\left(0\right)}{2!}\left(-\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\right)^2+O\left(\sigma^3T^{3/2}\right)\right)\right]\right] $$ $$ =A_{0,N}\left(0\right)\left[S_{0,N}\left(0\right)\left[N’\left(0\right)\left(\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\right)-N’\left(0\right)\left(-\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\right)+O\left(\sigma^3T^{3/2}\right)\right]\right] $$ $$ =A_{0,N}\left(0\right)\left[S_{0,N}\left(0\right)\sigma\sqrt{T}N’\left(0\right)+O\left(\sigma^3T^{3/2}\right)\right] $$ $$ =A_{0,N}\left(0\right)\left[S_{0,N}\left(0\right)\frac{\sigma\sqrt{T}}{\sqrt{2\pi}}+O\left(\sigma^3T^{3/2}\right)\right] $$ $$ \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}}A_{0,N}\left(0\right)S_{0,N}\left(0\right)\sigma\sqrt{T} $$ 其中第二個等式遵循泰勒展開式 $ N $ 大約 $ 0 $ 並且該近似值適用於較小的值 $ \sigma\sqrt{T} $ . 我在 Matlab 中檢查了帶有基礎支付掉期的 ATM 1Y6Y 掉期的這個近似值的準確性，見下圖。
從圖中可以看出，近似值適用於較小的 $ \sigma $ .
對於 ITM 和 OTM 罷工，布萊克的公式顯然不是線性的 $ \sigma $ 但呈凸形。我在 Matlab 中檢查了 Black 的 OTM 罷工公式的行為，並獲得了以下結果：
隨著罷工的增加和掉期期權從貨幣中獲得更多收益，布萊克的公式變得更加凸現。
在同一張圖片中，我還根據 Rebonato 近似波動率和通過蒙地卡羅評估獲得的隱含波動率，針對不同的行使價繪製了 1Y6Y 掉期期權的價格。對於 ATM 罷工，Rebonato 波動率和 MC 隱含波動率幾乎相同。對於增加的罷工，兩種波動率之間的差異也會增加，這意味著 Rebonato 近似對於遠離平價水平的罷工不太準確。
問題 1 MC 隱含波動率和 Rebonato 波動率之間這種增加的差異（在行權方向上）如何與布萊克公式對 ATM 行權是線性的事實相關聯？
此外，我注意到 Rebonato 近似值變得不太準確（Rebonato 近似值與 MC 隱含波動率之間的差異增加）對於較長期的掉期，即使是 ATM 罷工。我對 5Y10Y 掉期進行了與上述相同的測試，並獲得了以下結果：
從圖中可以看出，對於 ATM 罷工，MC 隱含波動率和 Rebonato 波動率存在顯著差異。比較 MC 價格和通過在 Blck 中插入 Rebonato 波動率得到的價格，價格之間的差異為 12.72 個基點。
問題 2是否與 Rebonato 近似對於長期 ATM 掉期期權不太準確的理論一致？什麼是可接受的差異？12.72 個基點可以接受嗎？這是否意味著 Rebonato 近似僅適用於 ATM 罷工和短期/中期掉期期權？
