Black-Scholes 公式證明，沒有隨機積分
我在我的學術圖書館查閱了很多書，通常是這樣的：
- 布朗運動
- 然後，隨機積分（伊藤公式等）
- 應用：看漲期權價格的布萊克-斯科爾斯公式
但是，我看到了一個根本不需要隨機積分的證明，它是這樣的：
讓 $ Y(t) = Y(0) e^{X(t)} $ 是資產的價格，作為幾何布朗運動，即 $ X(t) = \mu t + \sigma B(t) $ 在哪裡 $ B $ 是標準的布朗人。我們還假設 $ \mu + \sigma^2 / 2 = 0 $ 所以趨勢是中性的。
現在歐式看漲期權的價格（到期 $ t=T $ , 執行價格 $ Y(0) A $ ） 是：
$$ C = E\big( (Y(T)-Y(0) A)^+ \big) = Y(0) \cdot E\big( (e^{X(T)}-A)^+ \big). $$
但由於 $ X(T) $ 有法律 $ \mathcal{N}(\mu T, \sigma^2 T) $ （布朗尼），很容易看出
$$ E\big( (e^{X(T)}-A)^+ \big) = \int_{\ln A}^\infty (e^x-A)\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2 T}} e^{-\frac{(x-\mu T)^2}{2 \sigma^2 T} } d x $$
然後（這只是標準集成），我們得到：
$$ C = Y(0) (\Phi(\sigma \sqrt{T} - \alpha_T) - A \Phi(-\alpha_T)) $$和 $ \alpha_T := \ln(A)/(\sigma\sqrt T)+\sigma\sqrt T/2 $ 和 $ \Phi(x) = (1/\sqrt{2 \pi}) \int_{-\infty}^x e^{-t^2/2} d t $
這證明了看漲期權的 Black-Scholes 公式，無需任何隨機積分 / Itô。
問題：
為什麼所有教科書都使用隨機積分來證明這一點，而我們似乎不需要它？
幾年前，我在 MO 上問了一個類似的問題：
我今天的看法是，對於標準 BS，您確實不需要這種繁重的數學機器，但是一旦您轉向更複雜（和現實）的模型，您肯定會這樣做，所以當您正確開發急需的機器時，它很有用把它用在一些玩具問題上，而不是在分析過程中換檔。
除了隨機積分也非常優雅和通用，數學家喜歡優雅和通用的解決方案。
您可以通過對樹進行風險評估並傳遞到極限來將其作為二叉樹的極限。參見例如 Baxter 和 Rennie 或我的書“數學金融的概念與實踐”。
但是，在談論“證明”公式時應該小心。你證明定理。定理需要假設。Black–Scholes-Merton 論證表明，給定一個有任何漂移的 GBM，那麼沒有套利意味著 BS 公式成立。這比假設漂移對於扣除的起點具有不切實際的價值要強得多。