我們可以交易theta嗎？
背景是 Black-Scholes-Merton 微分方程的理論結果，即 theta 和 gamma 的影響相互抵消。
Euan Sinclair 的《期權交易》一書中的公式 (5.23)： $ \cfrac{1}{2}\sigma^2 S^2 \Gamma+\theta = 0 $ .
我知道這是針對對沖頭寸，這在平均意義上是成立的，等等。但讓我們以以下現實生活情況為例（截至 2022 年 8 月 16 日的數字是準確的）。
GOOGL 股票交易價格為 122。2022 年 10 月 21 日到期，150 行權看漲期權價格為 0.21。正如您可能知道的那樣，歷史最高點在 150 左右。所以交易者打賭它不可能在三個月內達到 150。他持有 1000 股，因此他賣出了 10 手的備兌看漲期權。有兩種方法可以擺脫這個位置。
一種是股價下跌幾美元。如果股票甚至下跌 10 美元，那麼 150 的看漲期權價格就會急劇下跌。交易者可以將其買回並保留差額作為利潤。
另一種方法是簡單地等待。Theta 會隨著時間的推移扼殺看漲期權的價格。如果交易者是正確的，並且如果股票離到期日還遠未接近 150，那麼 theta 就會扼殺看漲價格，他可以平倉。
在所有這一切中，唯一的大假設是 GOOGL 在三個月內不會達到 150 甚至接近這個價格。這似乎是合理的，因為 150 是 GOOGL 股票的歷史新高。當空頭看漲期權被覆蓋時，是否以一種對沖方式進行了受保看漲期權？做這個交易者計劃做的事情似乎是獲得無風險利潤的可靠方法，他本質上是在交易 theta。伽瑪的影響似乎並沒有在這裡抵消 theta 的影響。每次他根據當時的 GOOGL 股票價格和高得離譜的行使價的認購價溢價來平倉時，都可以重複這一點。
據我所知，賣出 3 個月的看漲期權的利潤非常低。我也明白，在某些情況下，theta 和 gamma 會相互抵消，並且在這種有保障的通話場景中可能不成立。但是，看起來我們可以交易 theta。這個思維過程有錯誤嗎？
您忽略了股票頭寸的 PnL。假設您以每單位 122 美元的價格持有 1,000 股。您以每單位股票 0.21 美元的價格賣出了看漲期權，因此獲得了210 美元的保費。如果股價下跌10美元，您的股票頭寸損失為 10美元x 1,000 美元 = 10,000美元，並且看漲期權到期時毫無價值，完整的PnL等於 210美元- 10,000美元=- 9,790美元。這沒有考慮股票頭寸的潛在融資成本。
讓 $ v(t,T) $ 成為當時的價值 $ t $ 到期的通話 $ T $ . 回顧 $ \theta:=\partial v/\partial t $ 但通過鍊式法則： $$ \begin{align} \frac{\partial v}{\partial t} =\frac{\partial v}{\partial \tau}\frac{\partial \tau}{\partial t} =-\frac{\partial v}{\partial \tau} \end{align} $$ 在哪裡 $ \tau:=T-t $ 是到期的時間。現在讓我們考慮一個交易策略，我們持有到期的看漲期權 $ T^\prime $ 並在到期時做空電話 $ T<T^\prime $ , 總共 $ 1/(T^\prime-T) $ 單位 - 這稱為日曆價差。那麼它的值等於： $$ \begin{align} \frac{v(t,T^\prime)-v(t,T)}{T^\prime-T} =\frac{v(t,T^\prime)-v(t,T)}{\tau^\prime-\tau} \end{align} $$ 注意 $ \tau $ 與 $ T $ 所以 $ v(t,T) $ 到期時間的看漲期權價值等於 $ \tau $ ， 因此： $$ \begin{align} \frac{v(t,T^\prime)-v(t,T)}{\tau^\prime-\tau} \approx\frac{\partial v}{\partial \tau} \approx-\frac{\partial v}{\partial t} \end{align} $$ 因此，日曆價差允許您交易 theta。