永久美式期權是否具有計算希臘人的封閉形式函式？
我想知道是否有分析公式來計算永久美式期權的 delta 或 gamma？
Black-Scholes 微分方程是二維的二階 PDE，表示為 $$ \begin{align*} \frac{\partial f}{\partial t} + rx\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma^2 x^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-rf&=0, \ \Theta+rx\Delta+ \frac{1}{2}\sigma^2 x^2 \Gamma-rf&= 0, \end{align*} $$ 假如說 $ f\in \mathcal{C}^{1,2}([0,T]\times\mathbb{R}) $ . 在合適的邊界條件下， $ f(t,S_t) $ 是一個歐式的、路徑獨立的聲明的值。
在永久期權的情況下，其價格 $ f=f(S_t) $ 不依賴時間， $ \Theta $ 消失，這將定價問題簡化為一維的二階 PDE（即 ODE） $$ \begin{align*} rx\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} + \frac{1}{2}\sigma^2 x^2 \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d} x^2}-rf&=0. \end{align*} $$ 這樣的 ODE 可以通過猜測來解決 $ f(x)=x^n $ . 然後， $$ \begin{align*} nrx^n + \frac{1}{2}\sigma^2 n(n-1) x^n-rx^n&=0, \end{align*} $$ 其中，除以 $ x^n $ 產生一個二次方程 $ n $ 有解決方案 $ n_1=1 $ 和 $ n_2=-\frac{2r}{\sigma^2}<0 $ . 然後給出一般解決方案$$ f(x) = A x^{n_1} + B x^{n_2}. $$
讓我們關注具有執行價格的看跌期權 $ K $ . 因為沒有依賴 $ t $ , 最佳運動條件 $ s $ 是一個常數，我們得到三種情況
- $ x<s $ : 期權應該被行使，因此， $ f(x) = K-x $ ,
- $ x=s $ ：順利粘貼狀態： $ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\bigg|_{x=s}=-1 $ 和
- $ x>s $ ：價格由上面的 ODE 給出，帶有邊界條件 $ \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0 $ .
條件 3) 意味著 $ A=0 $ 屈服 $ f(x)=Bx^{n_2} $ . $$ \begin{align*}
- &\implies Bx^{n_2}=K-x \implies Bs^{n_2}=K-s \
- &\implies Bn_2s^{n_2-1} = -1 \implies Bn_2s^{n_2} = -s \end{align*} $$
如果兩個方程都滿足 $ s=\frac{Kn_2}{n_2-1}=\frac{2rK}{\sigma^2+2r} $ . 我們還獲得 $ B=\frac{\sigma^2}{2r}\left( \frac{2rK}{\sigma^2+2r}\right)^{1+\frac{2r}{\sigma^2}} $ . 因此，最後， $$ \begin{align*} P(S_t) = \begin{cases} K-S_t & \text{if } S_t<s, \ BS_t^{n_2} & \text{if } S_t\geq s. \end{cases} \end{align*} $$
然後是看跌期權的 Delta 和 Gamma $$ \begin{align*} \Delta &= \begin{cases} -1 & \text{if } S_t<s, \ Bn_2S_t^{n_2-1} & \text{if } S_t\geq s. \end{cases}\ \Gamma &= \begin{cases} 0 & \text{if } S_t<s, \ Bn_2(n_2-1)S_t^{n_2-2} & \text{if } S_t\geq s. \end{cases} \end{align*} $$
請注意案例中 Gamma 和 Delta 的關係 $ S_t\geq s $ 就像在頂部的 ODE 中一樣。顯然，您的選項沒有 Theta，而 Vega & Rho 可以通過乘積規則獲得。價格公式還為您提供了一個行使規則，並告訴您何時應該行使您的選擇權。您可能還想閱讀這篇精彩的文章。