Black-Scholes 期權定價模型的缺點
如果有人能提供合乎邏輯的財務證據，我將不勝感激為什麼布萊克-斯科爾斯期權定價模型高估了長期期權的價值，如Bradford Cornell 的本文“沃倫·巴菲特、布萊克-斯科爾斯和長期期權的估值”中所述.
你會接受一點點揮手，而不是一個合乎邏輯的證明嗎？
想想 Black-Scholes 中的這兩個常數：
- $ r $ ， 利率
- $ \sigma $ , 波動性
還要考慮一個長期期權，比如說，一個到期日是一年後的期權。將要 $ r $ 和 $ \sigma $ 一年都一樣嗎？可能不是。然而，恆定的利率和波動性是兩個假設。這就是錯誤定價的根源。
—編輯—這是巴菲特稻草人論點的一個重要部分：
綜合考慮，我認為該指數在 100 年內下跌的機率遠低於 1%。但是，讓我們使用這個數字，並假設最有可能的下降——如果發生的話——是 50%。
我相信，這是讓巴菲特認為 BS 定價會產生“荒謬結果”的假設。巴菲特正在攻擊“極客軸承公式”（這意味著你，親愛的這個執行緒的讀者）。他憑什麼對布萊克-斯科爾斯有異議？康奈爾解釋道。
這意味著巴菲特有兩種可能的牛肉
$$ with the lognormal diffusion model from B-S $$. 首先，股權溢價，因此，漂移應該更大。其次，波動性有問題。
康奈爾消除了困境的第一個喇叭：“罪魁禍首不太可能是漂移。” 他將矛頭指向波動性：
除了模型所基於的套利論點之外，最後的候選者是波動率。如果巴菲特先生在為長期期權定價時批評使用對數正態擴散假設，他並不孤單。回想一下，對數正態假設意味著波動率相對於其測量範圍呈線性增加，如等式 (1) 所示
$$ lognormal distribution of B-S $$. 有經驗證據表明*線性假設在長期內無法成立。例如，Siegel (2008) 報告說，標準普爾 500 指數的實際回報變異數在歷史上並未隨時間線線性上升。如果長期波動率較低，則長期看跌期權的價值會較小。*例如，15% 的波動率（而不是 18%）會將巴菲特先生假設看跌期權頭寸的估計價值降低到 150 萬美元。它還降低了指數在到期時低於初始時的機率。
（強調我的）
簡而言之，康奈爾引用西格爾的話說，巴菲特之所以得到“荒謬的結果”，是因為他對長期波動性的估計太高了。
BS 是純粹的數學構造，不是基於經濟基礎。為了使 SPX 降至零或接近它，可能需要低於 BS 規定的可能性（滅絕事件可能會這樣做，在這種情況下，雙方都會失敗，以及所有人都會失敗，所以無論如何這都無關緊要），因此BS高估了機率。例如，在 p=300（SPX 現在為 2050 年）設置一個假設的反射障礙，然後將時間設置為 100 年，對期權進行定價可能會產生很大的影響。這也可以解釋為什麼賣出看跌現金覆蓋期權往往是一種優越的策略