提前行使美式股息股票期權
我正在閱讀 John Hull 的期權、期貨和其他衍生品的第 15 章。
具體來說，15.12 股息-美式看漲期權。
我在證明這樣一個事實時陷入困境，即在最後一個股息日期之前用股息股票行使美式期權是最佳的，而不是一直持有到到期。
投資者將獲得 $ S(t_n)-K $ 當他/她在除息日之前行使。除息日後，股價將跌至 $ S(t_n) - D_n $ . 這個選項的下限是已知的 $ S(t_n)-D_n-Ke^{-r(T-t_n)} $ .
因此，使用反證法，推導出以下內容。 $$ S(t_n)-D_n-Ke^{-r(T-t_n)}\geqslant S(t_n)-K $$ $$ -D_n-Ke^{-r(T-t_n)}\geqslant - K $$ $$ D_n + Ke^{-r(T-t_n)}\leqslant K $$ $$ D_n \leqslant K\left[1-e^{-r(T-t_n)}\right] $$
從最後一個等式中，本書得出結論，按時鍛煉並不是最佳的 $ t_n $ （除息日）。
但是，我不明白我們為什麼可以得出這樣的結論以及最後一個等式右側的含義。
誰能幫我理解這個證明？
$$ S(t_n)-D_n-Ke^{-r(T-t_n)}\geqslant S(t_n)-K $$ 表示
ifLHS（期權價格的下限） $ \geqslant $ RHS（如果你早鍛煉，你會得到什麼），鍛煉不是最佳的。這是一個assumption，而不是聲稱它是真實的或在任何情況下都必須成立。剩下的只是重新制定 $ D $ 在一邊。因此，當且 $$ D_n \leqslant RHS $$ 適時鍛煉不是最佳選擇 $ t_n $ （僅僅是因為第一個等式表明它不是並且沒有任何改變）。也就是說，也有可能 $ D_n > RHS $ . 特別是如果 $ T-t_n $ 小和/或紅利大。從第一個方程開始，你也可以說存在一個 $ S(t_n) $ 這證明了早期鍛煉的合理性。