MATLAB 中的預期期權回報
期權的預期收益由其預期收益給出 $ P $ 超過其市場價格 $ Q $ .
對於 Black-Scholes 模型，預期看漲期權回報為（見此處）：
$$ E(R)=\frac{E^P[(S_T-K)^+]}{e^{-rT}E^Q[(S_T-K)^+]}=\frac{e^{\mu \tau}[S_tN(d_1^)-e^{\mu \tau}KN(d_2^)]}{C_t(r,T,\sigma,S,K)}-1 $$ $$ \text{with }d_1^=\frac{\ln S_t/K+(\mu+\frac{1}{2}\sigma^2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}},\qquad d_2^=d_1^*-\sqrt{\tau}\sigma $$ 我實施了 $ P $ - MATLAB 中的收益為
E(R) = exp((mu-d)*T)*blsprice(S, K, mu, T, sigma,d)並獲得正確的值（與其他研究相比）。
但是，我也嘗試在 MATLAB 中以數值方式計算出期望積分，如下所示：
E(R2) = integral(@(S_T)max(S_T-K,0).*normpdf(log(S_T),mu-d-sigma^2/2,sigma),0,inf)（帶有一些任意參數），我得到一個不同的值。
有人可以解釋我的 E(R2) 程式碼是否有錯誤，還是 MATLAB 集成不夠準確？
例如嘗試
S=1,T=1,K=1,r=0.01,mu=0.1,sigma=0.05,d=0.02
GBM下
$$ \frac {dS_t}{S_t} = \mu dt + \sigma dW_t $$ 我們得到 $$ S_T = S_0 e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma W_T} $$ 建議 $$ S_T \sim \text{ln}\mathcal {N} ( \tilde {\mu}, \tilde {\sigma}) $$ 在哪裡 $$ \begin{align} \tilde {\mu} &= \ln S_0 + (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)T \ \tilde {\sigma} &= \sigma \sqrt {T} \end{align} $$ 現在如果 $ X \sim \text{ln}\mathcal {N} (\mu, \sigma) $ , 的pdf $ X $ 讀
$$ p (x) = \frac {1}{x \sigma \sqrt {2\pi}} e^{-\frac {(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $$ 顯示對數正態 pdf 與正態 pdf 的關係如下 $$ \text {lognormpdf} (x, \mu, \sigma) = \frac {\text {normpdf}(\ln (x), \mu, \sigma)}{x} $$ 所以最後：
$$ I = \mathbb {E}_0 [(S_T-K)^+] = \int_0^\infty \max(S_T-K,0) p (S_T) dS_T $$ 應計算為
mu_tilde = log(S_0) + (mu - 0.5*sigma^2)*T sigma_tilde = sigma*sqrt(T) I = integral(@(S_T) max(S_T-K,0) .* 1./S_T.*normpdf(log(S_T),mu_tilde,sigma_tilde),0,inf)所以你基本上有 3 個問題，其中 2 個在漂移/擴散係數的表達式中（但這些在挑選時會保持隱藏 $ S_0=T=1 $ ) 主要是缺失因素 $ 1/S_T $ 得到對數正態pdf。