Options

遠期起始零息債券

  • March 14, 2021

我們微不足道:

$$ \frac{Z(t_0,t_1)}{Z(t_0,t_2)}=1+\tau L(t_0,t_1,t_2) $$

在哪裡 $ L(t_0,t_1,t_2) $ 是之間的遠期Libor $ t_1 $ 和 $ t_2 $ , 作為 $ t_0 $ .

簡單地反轉這種關係然後產生:

$$ \frac{Z(t_0,t_2)}{Z(t_0,t_1)}=\frac{1}{1+\tau L(t_0,t_1,t_2)} $$

可以解釋一下 $ \frac{1}{1+\tau L(t_0,t_1,t_2)} $ 作為遠期起始零息債券 $ t_1 $ 和 $ t_2 $ , 作為 $ t_0 $ ?

IE:

$$ \frac{Z(t_0,t_2)}{Z(t_0,t_1)}=Z(t_0,t_1,t_2) $$

如果上述情況屬實,那麼假設我們要對 Caplet “拖欠”進行估值(即我的上一個問題中描述的回報)。

這個 caplet 支付 $ (L(t_1,t_1,t_2)-K)^{+} $ 有時 $ t_1 $ . 估價這個 caplet 在 $ t_0 $ , 選擇 $ Z(t_0,t_2) $ 作為 Numeraire,我們有:

$$ C(t_0, T=t_1)=Z(t_0,t_2)\mathbb{E}^{t_2}_{t_0}\left[\frac{(L(t_1,t_1,t_2)-K)^{+}}{Z(t_1,t_2)}\right] $$

使用身份:

$$ Z(t_0,t_2)=Z(t_0,t_1)Z(t_0,t_1,t_2) $$

我得到:

$$ C(t_0, T=t_1)=Z(t_0,t_1)Z(t_0,t_1,t_2)\mathbb{E}^{t_2}{t_0}\left[\frac{(L(t_1,t_1,t_2)-K)^{+}}{Z(t_1,t_2)}\right]=\=Z(t_0,t_1)\mathbb{E}^{t_2}{t_0}\left[(L(t_1,t_1,t_2)-K)^{+}\right] $$

現在手頭的問題似乎微不足道,因為 $ L(t_1,t_1,t_2) $ 是鞅 $ Z(t_0,t_2) $ .

以上不可能是正確的,因為答案與@Gordon 在我上面連結的上一個問題中得出的不同。那麼我在這裡哪裡出錯了?

$ Z(t_0,t_1,t_2) $ 是個 $ t_1 $ - 到期 ZC 債券的遠期價格 $ t_2 $ , 作為 $ t_0 $ . 我們有: $$ Z(t_0,t_1,t_2) = E_{t_0}^{t_1}[Z(t_1,t_2)]\not= Z(t_1,t_2). $$

使用非平凡的隨機指數,沒有辦法取出 $ Z(t_1,t_2)^{-1} $ 從您的條件期望運算符下直到執行 $ t_0 $ 命中 $ t_1 $ . 它不是 $ t_0 $ - 可測量的。

**注意:**為了澄清下面的@Novice555 評論,我們有 ( $ L(t_1,t_2)=L(t_1,t_1,t_2) $ ):

$$ E^{t_1}{0}[L(t_1,t_2)] \stackrel{(1)}{=} E^{t_2}{0}\left[\frac{dQ^{t_1}}{dQ^{t_2}}\big\vert_{t_1} L(t_1,t_2) \right] $$

在哪裡 $$ \frac{dQ^{t_1}}{dQ^{t_2}}\big\vert_{s} = \frac{Z(s,t_1)/Z(0,t_1)}{Z(s,t_2)/Z(0,t_2)}, $$

因此 $$ E^{t_1}{0}[L(t_1,t_2)] = Z(0,t_1,t_2)E^{t_2}{0}\left[Z(t_1,t_2)^{-1} L(t_1,t_2) \right] $$

$$ = Z(0,t_1,t_2) E^{t_2}{0}\left[ L(t_1,t_2) \right] + Z(0,t_1,t_2) E^{t_2}{0}\left[ L(t_1,t_2)^2\right] $$

$$ = Z(0,t_1,t_2) L(0,t_1,t_2) + Z(0,t_1,t_2) (t_2-t_1) E^{t_2}_{0}\left[ L(t_1,t_2)^2\right] $$

請注意,所有這些也可以從@Gordon 對罷工的 caplets的回答中獲得 $ K $ 被設定為 $ 0 $ .

另請注意,對於 ZC 債券,相同的方法(替換 $ L $ 經過 $ Z $ 在 (1)) 中給出:

$$ E^{t_1}{0}[Z(t_1,t_2)] = Z(0,t_1,t_2) E^{t_2}{0}\left[Z(t_1,t_2)^{-1} Z(t_1,t_2) \right] = Z(0,t_1,t_2) $$

總結這個主題的一種方法是:

  • ZC債券的遠期價格, $ Z(\cdot, t_1,t_2) $ , 是下 $ t_1 $ -前向測量,而
  • 遠期利率, $ L(\cdot, t_1,t_2) $ , 是下 $ t_2 $ 前向措施

引用自:https://quant.stackexchange.com/questions/61702