遠期起始零息債券
我們微不足道：
$$ \frac{Z(t_0,t_1)}{Z(t_0,t_2)}=1+\tau L(t_0,t_1,t_2) $$
在哪裡 $ L(t_0,t_1,t_2) $ 是之間的遠期Libor $ t_1 $ 和 $ t_2 $ ， 作為 $ t_0 $ .
簡單地反轉這種關係然後產生：
$$ \frac{Z(t_0,t_2)}{Z(t_0,t_1)}=\frac{1}{1+\tau L(t_0,t_1,t_2)} $$
可以解釋一下 $ \frac{1}{1+\tau L(t_0,t_1,t_2)} $ 作為遠期起始零息債券 $ t_1 $ 和 $ t_2 $ ， 作為 $ t_0 $ ?
IE：
$$ \frac{Z(t_0,t_2)}{Z(t_0,t_1)}=Z(t_0,t_1,t_2) $$
如果上述情況屬實，那麼假設我們要對 Caplet “拖欠”進行估值（即我的上一個問題中描述的回報）。
這個 caplet 支付 $ (L(t_1,t_1,t_2)-K)^{+} $ 有時 $ t_1 $ . 估價這個 caplet 在 $ t_0 $ , 選擇 $ Z(t_0,t_2) $ 作為 Numeraire，我們有：
$$ C(t_0, T=t_1)=Z(t_0,t_2)\mathbb{E}^{t_2}_{t_0}\left[\frac{(L(t_1,t_1,t_2)-K)^{+}}{Z(t_1,t_2)}\right] $$
使用身份：
$$ Z(t_0,t_2)=Z(t_0,t_1)Z(t_0,t_1,t_2) $$
我得到：
$$ C(t_0, T=t_1)=Z(t_0,t_1)Z(t_0,t_1,t_2)\mathbb{E}^{t_2}{t_0}\left[\frac{(L(t_1,t_1,t_2)-K)^{+}}{Z(t_1,t_2)}\right]=\=Z(t_0,t_1)\mathbb{E}^{t_2}{t_0}\left[(L(t_1,t_1,t_2)-K)^{+}\right] $$
現在手頭的問題似乎微不足道，因為 $ L(t_1,t_1,t_2) $ 是鞅 $ Z(t_0,t_2) $ .
以上不可能是正確的，因為答案與@Gordon 在我上面連結的上一個問題中得出的不同。那麼我在這裡哪裡出錯了？
$ Z(t_0,t_1,t_2) $ 是個 $ t_1 $ - 到期 ZC 債券的遠期價格 $ t_2 $ ， 作為 $ t_0 $ . 我們有： $$ Z(t_0,t_1,t_2) = E_{t_0}^{t_1}[Z(t_1,t_2)]\not= Z(t_1,t_2). $$
使用非平凡的隨機指數，沒有辦法取出 $ Z(t_1,t_2)^{-1} $ 從您的條件期望運算符下直到執行 $ t_0 $ 命中 $ t_1 $ . 它不是 $ t_0 $ - 可測量的。
**注意：**為了澄清下面的@Novice555 評論，我們有 ( $ L(t_1,t_2)=L(t_1,t_1,t_2) $ ):
$$ E^{t_1}{0}[L(t_1,t_2)] \stackrel{(1)}{=} E^{t_2}{0}\left[\frac{dQ^{t_1}}{dQ^{t_2}}\big\vert_{t_1} L(t_1,t_2) \right] $$
在哪裡 $$ \frac{dQ^{t_1}}{dQ^{t_2}}\big\vert_{s} = \frac{Z(s,t_1)/Z(0,t_1)}{Z(s,t_2)/Z(0,t_2)}, $$
因此 $$ E^{t_1}{0}[L(t_1,t_2)] = Z(0,t_1,t_2)E^{t_2}{0}\left[Z(t_1,t_2)^{-1} L(t_1,t_2) \right] $$
$$ = Z(0,t_1,t_2) E^{t_2}{0}\left[ L(t_1,t_2) \right] + Z(0,t_1,t_2) E^{t_2}{0}\left[ L(t_1,t_2)^2\right] $$
$$ = Z(0,t_1,t_2) L(0,t_1,t_2) + Z(0,t_1,t_2) (t_2-t_1) E^{t_2}_{0}\left[ L(t_1,t_2)^2\right] $$
請注意，所有這些也可以從@Gordon 對罷工的 caplets的回答中獲得 $ K $ 被設定為 $ 0 $ .
另請注意，對於 ZC 債券，相同的方法（替換 $ L $ 經過 $ Z $ 在 (1)) 中給出：
$$ E^{t_1}{0}[Z(t_1,t_2)] = Z(0,t_1,t_2) E^{t_2}{0}\left[Z(t_1,t_2)^{-1} Z(t_1,t_2) \right] = Z(0,t_1,t_2) $$
總結這個主題的一種方法是：
- ZC債券的遠期價格， $ Z(\cdot, t_1,t_2) $ , 是下鞅 $ t_1 $ -前向測量，而
- 遠期利率， $ L(\cdot, t_1,t_2) $ , 是下鞅 $ t_2 $ 前向措施。