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我該如何回答這個與期權限價有關的過去考試問題？
下圖顯示了我試圖回答的過去考試問題（我沒有評分方案）：
我相信在 BMS 模型下，股票到期的收益 $ T $ 是（誰）給的
$$ S_T = S_0 \exp \left( \mu T + \sigma W_T \right) $$ 因此，問題中股票的收益將由下式給出
$$ S_T = \exp \left( T + W_T \right) $$ 因此，我預計期權的回報是
$$ V_0 (T) = \left| \frac{T}{2} + T + W_T \right| = \left| \frac{3T}{2} + W_T \right| $$ 然而，
$$ \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{\left| \frac{3T}{2} + W_T \right|}{\sqrt{T}} = \lim_{T \rightarrow \infty} \left| \frac{3\sqrt{T}}{2} + \frac{W_T}{\sqrt{T}} \right| = \infty $$ 我究竟做錯了什麼？
兩件事情：
- 期權的價格是風險中性測度下的預期。在這個衡量標準下，股價的漂移是 $ r $ 並不是 $ \mu $ :
$$ dS_t = S_t r dt + S_t \sigma dW_t $$
- 當你整合得到 $ S_T $ ，你犯了一個錯誤：
$$ S_T = S_0\exp\left(\left(r-\frac{\sigma^2}{2} \right)T + \sigma W_T \right) $$
首先寫出表達式 $ d\ln(S_t) $ 使用伊藤引理，然後推導 $ \ln(S_T) $ .