在 BMS 市場模型下，我該如何回答這個與歐式期權價值相關的過去考試問題？
以下不是家庭作業的問題，取自我即將參加的一個模組的過去論文：
考慮一個帶有漂移的 Black-Merton-Scholes 隨機市場 $ \mu = 1 $ , 波動性 $ \sigma^2 = 1 $ 和利率 $ r = 0 $ . 在這個市場上有一個有一定期限的歐式期權 $ T > 0 $ 和回報
$$ \sqrt{1 + \left( \frac{T}{2} + \ln S_T \right)^2} $$ 其中 S 代表股票價格。假設 $ S_0 = 1 $ , 表明該期權的價格不得超過 $ \sqrt{1 + T} $ .
我正在努力回答這個問題。到目前為止，我的嘗試如下：
首先，由於我們正在考慮 BMS 市場模型下的股票價格，我認為 $ S_t $ 將由
$$ S_t = S_0 \exp \left( \left( r - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t \right) = \exp \left( - \frac{t}{2} + W_t \right) $$ 因此，表示為 $ V_t $ 該選項當時的價值 $ t $ ， 我們有 $$ V_t = \sqrt{1 + \left( \frac{t}{2} + \ln S_t \right)^2} = \sqrt{1 + \left( \frac{t}{2} + \left( - \frac{t}{2} + W_t \right) \right)^2} = \sqrt{1 + W_t^2} $$ 和這個選項的價格 $ t=0 $ 因此將由 $$ V_0 = e^{-rT} \mathbb{E} [V_T] = \mathbb{E} \left[ \sqrt{1 + W_T^2} \right] $$ 假設到目前為止我是正確的，我現在需要證明
$$ \mathbb{E} \left[ \sqrt{1 + W_T^2} \right] \leq \sqrt{1+T} $$ 我該怎麼做？
最後兩行有錯字： $ W_t $ 應該 $ W_T $ . 到目前為止，您的方法是正確的。
最後一步使用 Jensen： $ E[\sqrt{1+W_T^2})]^2\le E[1+W_T^2]=1+T $