沒有選擇模型可以對希臘人說多少？
讓 $ C(S, K, \sigma, r, T) $ 是看漲期權的價格。沒有選擇模型可以對希臘人說多少？或者至少沒有完整的布萊克-斯科爾斯？
下面，我寫下我所知道的一切，希望
- 人們可以向我推荐一本做類似事情的書
- 對以後閱讀的人很有用
三角洲
$ \Delta = \frac{\partial C}{\partial S} $
您應該為持續對沖持有的股票數量（無 t 成本）
$ \frac{\partial C}{\partial K} = \frac{1}{K} (C- S \frac{\partial C}{\partial S} ) $
證明：假設 $ C $ 是同質的 $ S $ 和 $ K $ ，應用歐拉同質性定理。
牛市價差告訴我們 $ \frac{\partial C}{\partial K} $ 是積極的。（你也可以證明這一點 $ \Delta $ 直接與對沖）。對沖表明 $ \Delta $ 是積極的並且 $ \Delta|{S = 0} = 0 $ , $ \Delta|{S=\infty} = 1 $ .
伽瑪
$ \Gamma = \frac{\partial^2 C}{\partial S ^2} $
這也是為了對沖
$$ C(S+dS) - C(S) \approx \Delta(S) dS + \frac{1}{2}\Gamma(S)dS^2 $$ 但由於你不能只使用底層，所以對我來說不太清楚。蝴蝶分佈表明 $ \frac{\partial^2 C}{\partial K ^2} = \left( \frac{K}{S}\right)^2 \Gamma $ 是積極的。
羅
$$ \rho = \frac{\partial C}{\partial r} $$ $ r $ 不能是真正獨立於模型的參數 $ C $ ，所以我想我隱含假設債券價格演變為 $ d B_t = r B_t dt $ 所以 $ B_t = e^{-r (T - t)} $ .
我想擁有它會更有意義 $ C $ 作為一個函式 $ B $ 而不是 $ r $ , 但它非常類似於 $ \rho $ :
$$ \frac{\partial C}{\partial B} = \frac{\partial C}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial B} \ = \rho \frac{-1}{BT} $$ $ \frac{\partial C}{\partial B} $ （不確定它是否有名字）告訴我們擁有多少無風險債券來對沖，但我對它的了解不如 $ \Delta $ .
西塔和織女星
$$ \Theta = \frac{\partial C}{\partial T} \qquad \mathcal{V} = \frac{\partial C}{\partial \sigma} $$ 再次，擁有 $ \sigma $ 作為參數 $ C $ ，必須了解某種股票價格動態。兩個都 $ T $ 和 $ \sigma $ 被推理為不確定性，這表明它們通常是積極的。
我對其中任何一個都沒有很好的模型獨立處理，但我敢肯定，不用完整的 Black-Scholes 就可以說些什麼。
特別是得到
$$ \Theta = \frac{\sigma}{2T} \mathcal{V} $$ 什麼時候 $ r= 0 $ . 這直覺地來自於波動率隨時間的平方根而變化的事實，因此期權僅取決於波動率調整時間 $ \sigma^2 T $ .
發現期權價格的模型無關屬性的主題也很有趣。以下是我知道的一些結果以及文獻中的相應參考文獻。有些也已包含在您的初始列表中。
普通香草價格在罷工中凸出
- Merton (1973) 中的定理 4。
Delta 由支付函式的斜率界定
- 即使在幾何布朗運動下，這也僅在標的資產沒有持有成本的情況下成立。
- 伯格曼等人。(1996) 表明這適用於某些一因子和二因子擴散模型下的歐式期權，並允許支付函式中的跳躍不連續性（例如數字）。另見 Epps (2007)，第 8 章。
- 埃爾卡魯伊等人。(1998) 擴展了 Berman 等人的結果。(1998) 到美式期權。Hobson (1998) 給出了另一種證明。
Gamma 對凸收益為正
- 伯格曼等人。(1996) - 見前一點的條件。
Spot 和 Strike 的同質性
- Merton (1973) 和 Bates (2005) 中的定理 9。這僅在標的資產表現出恆定的規模收益時才成立。例外情況是局部波動率模型。
Vega 對凸收益是積極的
- Merton (1973) 中的定理 8 顯示了一個稍微更一般的結果，即凸收益的價值不會降低標的資產的風險。在幾何布朗運動設置中，風險對應於擴散項，因此 vega 為正。
參考
Bergman、Yaacov Z.、Bruce D. Grundy 和 Zvi Wiener（1996 年）“期權價格的一般屬性”，金融雜誌，卷。51，第 5 期，第 1573-1610 頁
El Karoui、Nicole、Monique Jeanblanc-Picque 和 Steven E. Shreve（1998 年）“布萊克和斯科爾斯公式的穩健性”，數學金融，卷。8，第 2 期，第 93-126 頁
Epps, Thomas W. (2007) “定價衍生證券”，World Scientific，第 8.2.1 章
Hobson, David G. (1998) “波動性錯誤指定、期權定價和通過耦合的超複製”，應用機率年鑑，卷。8，第 1 期，第 193-205 頁
Merton, Robert C. (1973) “理性期權定價理論”，貝爾經濟與管理科學雜誌，卷。4，第 1 期，第 141-183 頁