伊藤引理和對數正態性質
有什麼區別：
$$ \begin{align} dS = udt + \sigma dz \end{align} $$
和
$$ \begin{align} dS=uSdt + \sigmaSdzdS \end{align} $$ 是不是前者是絕對值，而後者是相對於股價？
因此，如果我想為 ( $ G =\ln S => dG = (u-\sigma^2/2)dt + \sigmadz $ ) 為期權定價，是否可以使用第一個等式以及如何使用？在約翰赫爾的書中是通過使用第二個來完成的。
謝謝你。
答案
$$ \begin{align} dS = \mu dt + \sigma dW_t \end{align} $$ 簡直就是
$$ \begin{align} S(t) - S(0) = \mu t + \sigma W_t \end{align} $$
（例如，在第一頁中討論過）
如果我們定義布朗運動 (BM) 和幾何布朗運動 (GBM) 之間的區別，也許會有所幫助。BM 具有獨立的、同分佈的增量，而 GBM 具有獨立的、同分佈的連續因子之間的比率。該定義繼承自算術隨機遊走（建模為隨機項之和）和幾何隨機遊走（建模為隨機因子乘積）的定義。
讓我們更詳細地看一下它們。
BM 微分方程為：
$ dS_{t} = \mu dt + \sigma dW_{t} $
第一個術語， $ \mu dt $ , 是漂移項和第二項 $ \sigma dW_{t} $ 是由維納過程表徵的擴散項 $ W_{t} $ .
為了解決這個問題，我們在兩邊添加積分：
$ \int_{t=0}^T dS_{t} =\mu \int_{t=0}^T dt + \sigma \int_{t=0}^T dW_{t} $
在這裡，最後一個學期 $ \int_{t=0}^T dW_{t} $ 是你的隨機變數，即衝擊。
現在讓我們看看GBM。正如我們之前所說，GBM 的特點是
連續因素之間的獨立同分佈比率。我們將其定義為
$ \frac{dS_{t}}{S_{t}} = \mu dt + \sigma dW_{t} $
這裡， $ \frac{dS_{t}}{S_{t}} $ 是有限時間的價格。為了解決這個問題，我們獲取日誌並在應用 ito 引理後獲得
$ d(logS_{t}) = (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2)dt+\sigma dW_{t} $
現在我們可以添加積分，因為我們有一個正常的擴散：
$ \int_{t=0}^Td(logS_{t}) = (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2)\int_{t=0}^Tdt+\sigma \int_{t=0}^TdW_{t} $
因此
$ log S_{T}-log S_{0} = (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2)T + \sigma \int_{t=0}^TdW_{t} $
這裡， $ (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2)T $ 是 T 年後對數價格的平均值，並且 $ \sigma \int_{t=0}^TdW_{t} $ 是衝擊，即 T 年後的變異數（正態分佈，均值為 0，變異數為 1）。
最後，我們的收益率等於
$ \frac{S_{t}}{S_{0}} = exp((\mu - \frac{1}{2} \sigma^2)T + \sigma \int_{t=0}^TdW_{t}) $
這是對數正態分佈的。
我希望這有幫助！