解決任意收益的 Black-Scholes
晚上好，
我目前正在解決以下問題，我想對此提出意見，
讓我們考慮具有（時變）波動性的 Black-Scholes 模型， $ \sigma = \sigma(t) $ 和（時變）無風險回報率， $ r=r(t) $ .
$$ V_t + \frac{\sigma^2(t)}{2}S^2 V_{SS} + r(t)V_S-r(t)V = 0 \space, \space S>0,\space 0<t<T $$
以及以下最終條件：$$ V(S,T) = \phi(S)\space , \space S>0 $$在哪裡 $ \phi $ 代表期權的收益。
我首先考慮以下變數變化，$$ S = e^x $$ $$ t = T - \theta $$這使我能夠考慮以下功能：
$$ U(x,\theta) = V(e^x,T-\theta) \space,\space \hat\sigma(\theta) = \sigma(T-\theta) \space,\space \hat r(\theta) = r(T-\theta) $$這也把我的最終狀態變成了初始狀態， $ U(x,0) = \phi(e^x) $ ，我推導出以下變換。
$$ U_{\theta} = \frac{\hat\sigma^2(\theta)}{2}U_{xx} + \Big(\hat r(\theta) - \frac{\hat\sigma^2(\theta)}{2}\Big)U_x - \hat r(\theta)U \space,\space x \in \mathbb{R} \space,\space 0 < \theta < T $$
然後，我引入了一個新的時間變數，$$ \tau(\theta) = \frac{1}{2} \int_{0}^{\theta} \hat\sigma^2(\xi)d\xi $$我設法證明這個函式是一個區間的雙射 $ [0,T] $ 到一個區間 $ [0,\Upsilon] $ . 所以， $ \tau $ 是可逆的，我們可以有 $ \theta = \theta(\tau) $
使用這個新的時間變數，我定義了以下函式，$$ R(\tau) = \hat r(\theta(\tau)) \space,\space \Sigma(\tau) = \hat\sigma(\theta(\tau)) $$然後允許我定義$$ k(\tau) = 2 \frac{R(\tau)}{\Sigma^2(\tau)} $$
給定 $ u(x,\tau) = U(x,\theta(\tau)) $ ，我推導出以下新方程，$$ u_{\tau} = u_{xx} + (k(t)-1)u_x -k(t)u \space,\space x \in \mathbb{R} \space,\space 0 < \tau < \Upsilon $$
然後我定義了以下“更新因素”，$$ d(\tau) = e^{{\int_{0}^{\tau}k(\xi)d\xi}} $$和一個新功能$$ v(x,\tau) = d(\tau)u(x,\tau) $$這個新功能使我能夠推導出以下變換，$$ v_\tau = v_{xx} + (k(t)-1)v_x \space,\space x \in \mathbb{R} \space,\space 0 < \tau < \Upsilon $$
然後我解決了以下 PDE 問題，
$$ \psi_\tau = (k(t)-1)\psi_x \space,\space x \in \mathbb{R} \space,\space 0<\tau<\Upsilon $$ $$ \psi(x,0) = x $$
這個問題有以下解決方案，$$ \psi(x,\tau) = x + \int_{0}^{\tau} k(\xi)-1 d\xi $$
有了這個 $ \psi $ 解決方案，與 $ \psi = y $ ，我用以下函式做了一個新的變換，$$ v(x,\tau) = w(\psi(x,\tau),\tau) $$這種轉變使我能夠實現熱方程，$$ w_\tau = w_{yy} $$在初始條件下，$$ w(y,0) = \phi(e^y) $$
有了所有這些轉換和函式，我的主要目標是解決第一個問題，鑑於以上所有這些資訊。
$$ V_t + \frac{\sigma^2(t)}{2}S^2 V_{SS} + r(t)V_S-r(t)V = 0 \space, \space S>0,\space 0<t<T $$ $$ V(S,T) = \phi(S)\space , \space S>0 $$
我的問題如下：我應該從求解熱方程開始，然後逐個反轉每個變換嗎？或者有沒有更簡單的方法來解決這個 Black-Scholes 方程？
為了不讓這篇文章長兩倍，我不會明確說明這些證明背後的任何推理。
我期待有某種線索以便有一個起點，因為我真的迷失在所有這些“混亂”中。如果你讀到這裡，我真的很感激，我為這篇長文道歉。
謝謝！
你的是 Black-Scholes 模型的（後向 Kolmogorov）偏微分方程，具有隨時間變化的短期利率和波動性。現在，您是否考慮過風險中性評估和費曼-卡奇表示？參見例如Bjork 第 5 章。
因為，該 PDE 的無窮小生成器與以下 SDE 相同：
$$ dS(t) = r(t) S(t)dt + \sigma(t) S(t) dW(t) $$
在哪裡 $ W(t) $ 是標準布朗運動。如果你的 $ \sigma(t) $ 是確定性的（或至少適應於 $ W(t) $ -過濾），你仍然明白 $ S(T) $ 是有條件的（到 $ S(t) $ ) 對數正態分佈，有效波動因子與綜合變異數率成正比
$$ \int^T_t\sigma^2(s) ds $$
參見例如bjork eq。(26.33)。隨時間變化的利率貢獻類似。基本上，我認為您正在嘗試解決實際上並不需要解決的 PDE，因為一旦您知道底層的終端條件分佈 $ S(T) $ ， 說 $ p(S) $ ，您可以有效地為任何（歐洲行權）收益定價
$$ \int^{\infty}_0 \phi(S) p(S) dS $$
並且該積分的解決方案保證是（a）您的 PDE 的解決方案。我在這裡錯過了什麼嗎？就個人而言，我仍然喜歡你對熱方程的推論。