在 Black Scholes 框架下，ATM 呼叫的價值是多少？噸→∞噸→∞噸→∞T rightarrow infty?

在 Black Scholes 框架中，當到期時間趨於無窮大時，平價普通歐式看漲期權的價值是多少（ $ T \rightarrow \infty $ )?

Black-Scholes 看漲期權價格由下式給出

[數學處理錯誤]$$ \begin{align*} C = S_0 N(d_+) - K e^{-rT}N(d_-), \end{align*} $$ 在哪裡$$ d_{\pm}= \frac{\ln \frac{S_0}{K}+(r\pm\frac{1}{2}\sigma^2) T}{\sigma \sqrt{T}}. $$ 在這裡，我們假設利率 $ r\ge 0 $ 和 $ \sigma >0 $ . 對於平價看漲期權，即 $ K=S_0 $ ，我們注意到 $ \lim_{T\rightarrow \infty} d_+ = \infty $ ， 那是，$$ \lim_{T\rightarrow \infty} N(d_+) = 1. $$ 此外，如果 $ r>0 $ ， 然後$$ \lim_{T\rightarrow \infty}Ke^{-rT} N(d_-) = 0, $$而如果 $ r =0 $ ， 然後 $ \lim_{T\rightarrow \infty} d_- = -\infty $ ， 和 $ \lim_{T\rightarrow \infty} N(d_-) = 0. $ 所以，$$ \lim_{T\rightarrow \infty} C = S_0. $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/30889