為什麼有些人聲稱 ATM 看漲期權的 delta 是 0.5？
我正在尋找一個關於微分 BS 方程以計算 Delta 的數學證明，然後證明 ATM delta 等於 0.5。我看過很多書引用 ATM 看漲期權的 delta 是 0.5，解釋說完成錢的機率是 0.5，但我正在尋找一個數學證明。
您的問題不是很明確，因為您沒有指定 delta 何時等於 0.5。您所說的實際上僅適用於到期時的 ATM 看漲期權。
在 Black-Scholes 模型中，資產 S 的看漲期權價格與行使價 $ K $ 和成熟時間 $ T $ 等於
$$ c(t,S(t),K,T) = S(t)\Phi\left(\frac{\ln\frac{S(t)}{K} + \left(r+\frac{\sigma^2}{2} \right)\tau}{\sigma \sqrt{\tau}} \right) - Ke^{-r \tau}\Phi\left(\frac{\ln\frac{S(t)}{K} + \left(r-\frac{\sigma^2}{2} \right)\tau}{\sigma \sqrt{\tau}} \right) $$ 在哪裡 $ r $ 是無風險利率， $ \sigma $ 波動性和 $ \tau = T-t $ . Black-Scholes 模型中的“delta”是
$$ \Delta(t,S(t),K,T) = \frac{\partial c}{\partial S}(t,S(t),K,T) = \Phi\left(\frac{\ln\frac{S(t)}{K} + \left(r+\frac{\sigma^2}{2} \right)\tau}{\sigma \sqrt{\tau}} \right) $$ 在看漲期權的情況下，我們有 $ K=S(t) $ 這意味著我們得到
$$ \ln\frac{S(t)}{K} = \ln(1) = 0 $$ 我們只剩下
$$ \Delta(t,S(t),S(t),T) = \Phi\left(\frac{\left(r+\frac{\sigma^2}{2} \right)\tau}{\sigma \sqrt{\tau}} \right) $$ 這個表達式等於 $ 0.5 $ 什麼時候 $ \tau = 0 $ 那是什麼時候 $ t=T $ . 這是因為 $ \Phi(x)=0.5 $ 當且僅當 $ x=0 $ .
希望這可以幫助您理解。否則，請不要猶豫再問一次！