Poisson 過程是否會長期收斂到 Ito 過程？
我聽說Poisson過程長期“收斂”到伊藤（擴散）過程。但是，我看不到形式的特徵功能如何轉變為後者的功能。這種趨同可以用什麼標準來定義呢？
對於隨機變數，隨機過程有不同類型的收斂。可能您的意思是 Skorokhod 拓撲中的收斂 $ J_1 $ . 這是一個收斂概念 $ d $ 維 cádlág 過程。
隨機過程的收斂 $ X_n \xrightarrow {\mathscr L} X $ 在這個意義上，當且僅當法律成立 $ \mathscr{L}(X^n) $ 在配備 Skorokhod 拓撲的 cádlág 函式的機率測度空間中收斂。
通常，必須向事物展示：
- $ (X^n) $ 很緊（即相對緊湊）
- $ X_n \xrightarrow {\mathscr L(D)} X $ 對於一些密集的子集 $ D \in \mathbb{R}_{\ge 0} $ （例如，有限維分佈的收斂）
有關該主題的完整處理，請考慮 Jacod & Shirayev：隨機過程的極限定理，或更經典的參考比林斯利：機率度量的收斂。
現在可以用定理 IX.4.8 回答您對Poisson過程的問題。在雅科德和希里亞耶夫。考慮一個複合Poisson過程 $ Y $ ，即Poisson過程 $ N $ 有強度 $ \lambda $ 和獨立同分佈隨機變數 $ X_1,X_2, \dots $ ， 英石 $$ Y_t = \sum_{i=1}^{N_t} X_i, \quad t \ge 0. $$ 我們現在期望如果跳躍 $ X^1,X^2,… $ 變小和強度 $ \lambda $ 爆炸，布朗運動的收斂可以成立。
定理 IX.4.8 證實了這一點：考慮 $ \lambda^n=n $ , $ X_1^n $ 正態分佈，均值為零和變異數 $ n^{-(1/2)} $ . 然後二次變分計算為 $$ \int x^2 \lambda_n \phi\big(\frac{x}{a_n}\big) a_n^{-1}dx = \lambda_n (a_n)^2=1 $$ 在哪裡 $ a_n=n^{-(1/2)} $ . 這表明 $ \tilde c^n \to 1 $ 在定理 IX.4.8 中。再加上限製過程沒有跳躍的事實（ $ K=0 $ 其中）和沒有漂移（ $ b=0 $ 其中）這得出極限是布朗運動。
定理 IX 4.8：
