Marginal Risk Contribution Formula
I am trying to understand and implement the standard ‘marginal risk contribution’ approach to portfolio risk and hoping to reconcile the formulae provided for its calculation in different sources. Specifically I am trying to understand the difference of these two papers:
- Page 4 of this paper by Roncalli (http://thierry-roncalli.com/download/erc.pdf)
- Pages 2-3 of this paper by Kazemi (http://people.umass.edu/kazemi/An%20Introduction%20to%20Risk%20Parity.pdf)
我真正想要更多幫助理解的是：
在定義 MC1 的 Kazemi PDF 第 2 頁上，投資組合 vol 相對於 w1 的偏導數是如何取的？（投資組合vol的平方根如何消失，投資組合vol如何出現在分母中）
根據資產和投資組合之間的共變異數（Kazemi 的第 3 頁 - “beta”），MC 的替代公式是如何得出的？理想情況下，尋找一個分步指南，說明如何以這種方式思考 MC
關於你的第一個問題：導數不會消失： $ \sigma(R_p) $ 包含平方根。更準確地說，設置
$$ \sigma(R_p) = \sqrt{w_1^2\cdot\sigma(R_1)^2 + w_2^2\cdot\sigma(R_2)^2 + 2w_1w_2\text{Cov}(R_1, R_2)}. $$ 然後我們開始使用鍊式法則： [數學處理錯誤]$$ \begin{align} \frac{\partial\sigma(R_p)}{\partial w_1} &= \frac 12 \cdot \biggl(\sqrt{w_1^2\cdot\sigma(R_1)^2 + w_2^2\cdot\sigma(R_2)^2 + 2w_1w_2\text{Cov}(R_1, R_2)}\biggr)^{-1} \cdot\Bigl(2w_1\cdot\sigma(R_1)^2 + 2w_2\text{Cov}(R_1, R_2)\Bigr) = \ &= \frac{1}{\sigma(R_p)} \cdot\Bigl(w_1\cdot\sigma(R_1)^2 + w_2\text{Cov}(R_1, R_2)\Bigr). \end{align} $$ 所以你看，平方根還在，只是隱藏在 $ \sigma(R_p) $ . $ MC_1 $ 只需將導數與[數學處理錯誤] $ w_1 $ . 關於你的第二個問題：注意兩件事。第一的，
$$ R_p = \sum_{j =1}^N w_j R_j $$ 其次，共變異數函式是雙線性的。這意味著 [數學處理錯誤]$$ \text{Cov}(R_i, R_p) = \text{Cov}\Bigl(R_i, \sum_{j =1}^N w_j R_j\Bigr) = \sum_{j = 1}^N w_j \text{Cov}(R_i, R_j). $$ 從這裡你可以很容易地推導出另一種表示： [數學處理錯誤]$$ \begin{align} MC_1 &= w_1 \cdot \frac{\sum_{j = 1}^N w_j \text{Cov}(R_1, R_j)}{\sigma(R_p)} = w_1\sigma(R_p) \cdot \frac{\sum_{j = 1}^N w_j \text{Cov}(R_1, R_j)}{\sigma(R_p)^2} \ &= w_1\sigma(R_p) \cdot \frac{\text{Cov}(R_1, R_p)}{\sigma(R_p)^2} = w_1\sigma(R_p) \cdot \beta_1. \end{align} $$ 希望這會有幫助。