連續幾何亞洲期權
假設無風險債券 $ B_t $ 和股票 $ S_t $ 遵循不分紅的 Black & Scholes 模型的動態（利率為 r，股票漂移 $ \mu $ 和波動性 $ \sigma $ ）。讓 $ c(t; St;Gt;K) $ 和 $ p(t; St;Gt;K) $ 是（連續）幾何亞洲看漲期權和行權看跌期權在時間 t 的價格 $ K $ . 找到幾何亞洲期權的看跌期權平價關係。換句話說，和一個明確的表達 $ c(t; St;Gt;K)-p(t; St;Gt;K) $ .
到目前為止，這就是我所擁有的： $ G_T=\exp{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\log S_udu}\ X_T=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\log S_udu\ G_T=e^{X_T} $
支付函式是： $ c_{fix}=(G_T-K)^+=(e^{X_T}-K)^+\ p_{fix}=(K-G_T)^+=(K-e^{X_T})^+\ c_{fix}-p_{fix}=G_{T}-K $
通過風險中性評估： $ c_{fix}-p_{fix}=e^{-r(T-t)}E^{Q}[e^{X_T}-K] $ .
希望了解如何在沒有標準正態變數的情況下計算它。
無論是算術平均還是幾何平均，你總能得到 $$ \begin{align*} \mathrm{AsianCall} - \mathrm{AsianPut} = e^{-rT} (\mathbb{E}[\bar{S}]-K). \end{align*} $$
所以，讓我們計算期望值。你知道的 $ \bar{S}=\exp\left( \frac{1}{T} \int_0^T \ln(S_t)\mathrm{d}t \right) $ 在哪裡 $ \ln(S_t) =\ln(S_0)+\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t+ \sigma W_t $ .
因此，
$$ \begin{align*} \ln(\bar{S}) &= \frac{1}{T} \int_0^T \ln(S_t)\mathrm{d}t \ &= \frac{1}{T} \int_0^T \left( \ln(S_0)+\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t + \sigma W_t \right) \mathrm{d}t \ &= \frac{1}{T}\left( \ln(S_0)T + \frac{1}{2}\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T^2+\sigma\sqrt{\frac{1}{3}T^3}Z \right) \ &= \ln(S_0) + \frac{1}{2}\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T+\frac{\sqrt{3}}{3}\sigma\sqrt{T}Z, \end{align*} $$ 使用它 $ \int_0^T W_t\mathrm{d}t\sim N\left(0,\frac{1}{3}T^3\right) $ 如此處所示。
最後， $$ \begin{align*} \ln(\bar{S}) \sim N\left( \ln(S_0) + \frac{1}{2}\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T, \frac{1}{3}\sigma^2 T\right). \end{align*} $$
因此， $ \bar{S} $ 是對數正態分佈的並且 $ \mathbb{E}[\bar{S}]=e^{m+\frac{1}{2}s^2} $ ， 在哪裡 $ m $ 和 $ s $ 是平均值和標準差 $ \ln(\bar{S}) $ 如上計算。