獲取密度的問題

對於我的研究，我需要獲得一系列密度，但是，我遇到了一些問題。

第一個問題可能很簡單，但答案卻讓我難以捉摸。假設我有一個時間序列的觀察結果， $ x=0.001 $ 連同估計平均值 $ \mu=0.0001 $ 和標準差 $ \sigma=0.4 $ . 使用 R：

dnorm(0.001, 0.0001, 0.4)
z=(0.001-0.0001)/0.4
dnorm(z, 0, 1)

其中 z 是標準化變數。為什麼結果不一樣？

第二個問題與 Hansen 的 Skew-t 分佈有關。讓我們添加傾斜 $ \lambda=0.1 $ 和形狀 $ \eta=5 $ 參數。將所有參數插入 pdf 時（我取 z 取 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 考慮到）我得到 $ 0.4832 $ ，但是當我sgt在 R 中使用包時：

dsgt(0.001, 0.0001, 0.4, 0.1, p = 2, 5, mean.cent=TRUE, var.adj=TRUE)

獲取 $ 1.075749 $ . 輸入標準化變數 z 和 $ \mu = 0 $ 和 $ \sigma = 1 $ 進入上述產量 $ 0.5425881 $ .

你能解釋一下價值觀不同的原因嗎？

你知道的 ：

$ X \sim N(\mu,\sigma^2) $ .

$ Z = \large\frac{X-\mu}{\sigma} $ .

$ \text{Var}(Z) = \large\frac{1}{\sigma^2}\text{Var}(X) = \large\frac{1}{\sigma^2}\sigma^2 = 1 $ .

以便 $ Z \sim N(0,1) $ .

但是請注意，為 X 和 Z 評估的 pdf 具有不同的域。

下圖說明了它：

1. $ X $ 繪製在 a) 和 $ Z $ 在 b)
2. 它們各自的正常 pdf 繪製在 c) 和 d) 中。請注意，它們的積分等於 1。
3. 在 e) 中，我在（錯誤的）原始域上應用了 Z 的 pdf，請注意積分與 1 不同。
4. 要在原始域上獲得正確的 pdf，我們需要將 pdf(Z) 縮放 ( $ 1/ \sigma $ )，這是在 f) 中完成的。積分沒問題，等於1。

垂直線在 X= 1.5 處進行評估，您會看到密度在域中相應不同。

因此，在您的範例中，您還需要通過 ( $ 1/\sigma $ ) :

(1/sigma)*dnorm(z, 0, 1) = dnorm(0.001, 0.0001, 0.4)

總結一下，當您使用正常變換時，您需要將密度縮放 ( $ 1/ \sigma $ ) 以獲得原始域中的正確密度。

您可以在此處找到此答案中使用的 matlab 程式碼。

我認為您的第二個問題和您的其他一些問題與此問題有關。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/22490