如何估計 Vascek 單因子模型中的因子敏感性？
我理解債務人 i 的資產回報公式由以下給出： $$ A_i = \sqrt{w_i}Z + \sqrt{1-w_i}\epsilon_i $$
我的問題是 - 我如何計算 $ w_i $ ? 我有每個債務人的 PD、LGD 和 EAD 數據，以及每個債務人資產類別的共變異數矩陣（我有大約 5,000 個債務人，有 3 個資產類別，每個債務人只屬於一個資產類別）。
從我讀到的， $ w_i $ 是資產相關性。雖然我有資產共變異數矩陣，但我不確定如何使用它來推導資產相關性（因為每個資產將與其他兩個類別有 2 個共變異數）。
在另一個地方，我讀到它可以導出為資產相關性， $ \rho $ :
$$ \rho = 0.12*(1-e^{-50PD}/1-e^{-50}) + 0.24[1-(1-e^{-50*PD}/1-e^{-50})] $$（選擇值 0.12 和 0.24 是因為 $ \rho $ 可以在 12%-24% 的選定範圍內。
所有這一切都非常令人困惑，任何幫助將不勝感激。
根據巴塞爾協議 II 計算相關性：
**您的第二個等式幾乎符合巴塞爾 II 協議中用於計算銀行最低資本要求的國際監管框架，該**框架告訴您如何按照（至少）基本 IRB 方法對 PD、LGD 和 EAD 進行建模。任何成為巴塞爾委員會成員的國家都需要滿足這些監管要求。
讓我們假設您的銀行（至少）滿足IRB 方法的要求，給他們使用自己的 PD 估計值的餘地。然後巴塞爾協議II的官方文件就最低資本要求（見上面的連結）指定相關結構為：
$$ \rho = A \cdot \frac{1-e^{-50\cdot PD}}{1-e^{-50}} + B \cdot \frac{1-(1-e^{-50\cdot PD})}{1-e^{-50\cdot PD}} \mathbin{\color{red}{-w^{SME}}}, $$
我們觀察到 $ \rho $ 負依賴於 Vasicek 模型中的債務人 PD。這裡， $ w^{SME} $ 是針對中小型企業 (SME) 的企業規模調整術語。根據企業信貸的內部評級法，允許銀行分別區分中小企業和大型借款人的風險敞口。中小企業被定義為企業年銷售額小於或等於 5000 萬歐元。該調整項由下式給出：
$$ w^{SME}=0.04 \cdot \left(1-\frac{S-5}{45}\right), $$
在哪裡 $ S $ 表示為年銷售額總額，單位為百萬歐元，需要介於 $ 5\leq S \leq 50 $ 百萬歐元。最終，中小企業獲得最大減少 $ 0.04 $ 與較大的公司風險敞口相比，在相關性估計中。
請注意，對於公司、主權和銀行風險敞口， $ A $ 和 $ B $ 被設置在 $ 0.12 $ 和 $ 0.24 $ ，分別（見第 63-64 頁）。正如您自己寫的那樣，這意味著對於低 PD 估計值，相關性趨向於 $ 0.24 $ 反之亦然。對於高波動性的商業房地產，相關性介於 $ A=0.12 $ 和 $ B=0.3 $ （第 65-66 頁）。
另一方面，對於零售風險敞口，相關性的支持介於 $ A=0.03 $ 和 $ B=0.16 $ （第 77-78 頁），但具有固定相關性的抵押貸款除外 $ 0.15 $ （第 76-77 頁）。巴塞爾 II 文件的開頭提供了不同暴露類型的嚴格定義。
我建議使用這種方法計算相關性，因為很多國家都需要滿足巴塞爾協議 II 的監管框架。嘗試查找您所在國家/地區的中央銀行。他們通常有實用（且較短）的論文，用於在監管框架下計算不同類型的風險。
我提供了帶有頁碼的答案，因此您可以對高達 190 頁的 Basel II 文件進行更深入的研究。我希望我的回答能提供一些見解。