這個 SDE 是如何解釋的？
我看到了這個模型
$$ \frac{dF(t,T)}{F(t,T)} = \sigma(t,T) dW_t + (\exp(e^{-a(T-t)}dJ_t)-1) + \mu_J(t,T)dt $$ 對正向曲線進行建模。重寫
$$ dF(t,T) = \sigma(t,T)F(t,T) dW_t + F(t,T)(\exp(e^{-a(T-t)}dJ_t)-1) + F(t,T)\mu_J(t,T)dt $$ 我不太明白如何將其寫成積分形式。IE
$$ F(s,T) = F(0,T) + \int^s_0\sigma(t,T)F(t,T) dW_t + \int^s_0 F(t,T)\mu_J(t,T)dt + \cdots $$ 我不知道是什麼“ $ \cdots $ “ 應該。
$ \require{cancel} $
考慮以下 SDE
$$ \frac{dF(t,T)}{F(t,T)} = \sigma(t,T) dW_t + (\exp(e^{-a(T-t)}dN_t)-1) + \mu_J(t,T)dt $$ 在哪裡 $ N_t $ 表示一個標準的Poisson過程，據說獨立於標準的布朗運動 $ W_t $ . 這個 SDE 應該通過查看來解釋 $ N_t $ 就像它是什麼一樣，即一個隨機計數過程，直覺地， $ dN_t $ 除了等於 +1 的（隨機）跳躍日期外，其他地方都為零。知道這一點後，您可以將跳轉項重寫為：
$$ \exp(e^{-a(T-t)}dN_t)-1 = \left(\exp(e^{-a(T-t)})-1\right)dN_t $$ 這是更好的符號實踐（在 RHS 上單獨突出的 -1 有點奇怪），所以我們有 $$ \frac{dF(t,T)}{F(t,T)} = \mu_J(t,T)dt + \sigma(t,T) dW_t + \left(\exp(e^{-a(T-t)})-1\right)dN_t \tag{0} $$ 現在，正如@Kiwiakos 所暗示的，讓
$$ f(t,T) = \ln F(t,T) $$ 並將 Itô 引理應用於帶跳躍的半鞅，得到： $$ df(t,T) = \underbrace{\left(\mu_J(t,T)-\frac{\sigma(t,T)^2}{2}\right) dt + \sigma(t,T) dW_t}{\text{diffusion part}} + \underbrace{(f(t,T)-f(t^-,T))dN_t}{\text{jump part}} \tag{1} $$ 原始 SDE $ (0) $ 然後告訴我們，在跳躍日期 $ t $ :
$$ \underbrace{\frac{F(t,T) - F(t^-,T)}{F(t^-,T)}}{dF(t,T)/F(t,T)} = \underbrace{0}{\text{continuous part (does not jump)}} + \underbrace{ \exp(e^{-a(T-t)})-1}_{\text{non continuous part ($dN_t=1$)}} $$ 或等效地： $$ F(t,T) \cancel{- F(t^-,T)} = \exp(e^{-a(T-t)}) F(t^-,T) \cancel{- F(t^-,T)} $$ 顯示在跳躍日期 $$ f(t,T) - f(t^-,T) = \ln(F(t,T)/F(t^-,T)) = e^{-a(T-t)} $$ 因此，Itô 引理的等價表達式適用於 $ f(t,T) $ $$ df(t,T) = \left(\mu_J(t,T)-\frac{\sigma(t,T)^2}{2}\right) dt + \sigma(t,T) dW_t + e^{-a(T-t)}dN_t \tag{2} $$ 可以很容易地集成。