Stochastic-Calculus

backward Kolmogorov equations - Markov properties

  • March 31, 2014

我是一名物理學家,他的研究使他進入了隨機微分方程的理論。如果這個問題不適合這個論壇,請隨時刪除它。

所以我一直在關注 Bernt Oksendal 的隨機微分方程:應用介紹 (第 5 版)。在其中,他討論了時間均勻的一維隨機過程 $ {X_t}_{t \ge 0} $ , 這解決了 SDE

$$ dX_t = a(X_t) dt + b(X_t) dW_t, \quad X_0 = x_0 \quad \mathbb{P} - a.s. $$ (這當然假設 $ a(\cdot) $ 和 $ b(\cdot) $ 是 Ito 可積的,我很高興將它們視為在無窮遠處消失的平滑無限微分有界函式。)我的問題涉及考慮兩個附加(平滑)函式 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在哪裡 $ f(x) \ne g(x) $ 一般來說,但確實滿足平等, $$ f(x_0) = g(x_0). $$ 我的問題是給定這個等式,我們是否必須從落後的科洛莫哥洛夫方程得出結論:

$$ \mathbb{E}(f(X_T) ) = \mathbb{E}(g(X_T) ) $$ 任何時候 $ T \ge 0 $ ? 我得出這個結論是因為向後的 Kolmogorov 方程說,我們可以考慮

[Math Processing Error]$$ u(t, x_0) = \mathbb{E}( g(X_t) ) $$ 在哪裡 $ u(t, x) $ 求解 PDE $$ \frac{\partial}{\partial t} u(t, x) = a(x) \frac{\partial u}{\partial x} (t, x) + \frac{1}{2}b(x) \frac{\partial^2u}{\partial x^2} (t, x) $$ 在初始條件下, $ u(0, x_0) = g(x_0) $ . 現在而不是考慮[Math Processing Error] $ g $ 我們考慮了函式[Math Processing Error] $ \mathbb{E}( f(X_t) ) $ . 我相信我會在相同的初始條件下寫下相同的方程。這使我得出結論[Math Processing Error] $ \mathbb{E}(f(X_T) ) = \mathbb{E}(g(X_T) ) $ , 不管怎樣 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 可能表現得遠離[Math Processing Error] $ x_0 $ .

我的直覺說這是不正確的,關於[數學處理錯誤] f數學處理錯誤g][Math Processing Error] $ f $ 和[Math Processing Error] $ g $ 必須以某種方式將其考慮在內。是不是初始條件真的是一個邊界條件,我們真的是說 $ u(0, x) = g(x) $ 對於任何[Math Processing Error] $ x $ ?

輸入此內容後,我想我可能已經回答了我自己的問題,但任何回饋都將不勝感激!

謝謝。

後向 Kolmogorov PDE 的初始條件是

$$ u(0,x) = g(x) $$ 對所有人[Math Processing Error] $ x $ 在相關領域,而不僅僅是在某個特定點。所以如果你的功能[Math Processing Error] $ f $ 和[Math Processing Error] $ g $ 僅在一個點上同意初始條件實際上是不同的。

引用自:https://quant.stackexchange.com/questions/10759