隨機過程增量的獨立性1噸∫噸0你呢在在1噸∫0噸在d在在frac{1}{t}int_0^t u dW_u
讓 $ X_t $ 是一個隨機過程，使得
$$ X_{t} =\frac{1}{t}\int_0^t u dW_u $$
我知道對於
$$ Y_{t} =\int_0^t u dW_u $$ $ Y_t-Y_s $ 獨立於 $ Y_s $ 在哪裡 $ t>s $ . 但這是否也適用於 $ X_t $ 其中有明確的時間依賴性？編輯共變異數是 $$ E[X_tX_s] - E[X_s^2] $$
$$ E[X_t X_s] =\frac{1}{ts} \cdot E\biggl[\int_t^s u dW_u \int_0^s u dW_u\biggr] +E\biggl[\int_0^s u dW_u \int_0^s dW_u\biggr] $$ 第一個期望中的第一個積分是與第二個無關的正常隨機變數序列的限制，因此可以拆分第一個期望並使用維納過程屬性它消失。
請注意，對於 $ t>s>0 $ , $$ \begin{align*} X_t-X_s &= \frac{1}{t}\int_0^t udW_u - \frac{1}{s}\int_0^s udW_u\ &=\frac{1}{t}\bigg(\int_s^t u dW_u + \int_0^s udW_u \bigg)- \frac{1}{s}\int_0^s udW_u\ &=\frac{1}{t} \int_s^t u dW_u + \Big(\frac{1}{t} -\frac{1}{s}\Big)\int_0^s udW_u\ &=\frac{1}{t} \int_s^t u dW_u - \frac{t-s}{t} X_s. \end{align*} $$ 這裡， $ \int_s^t u dW_u $ 獨立於 $ X_s $ . 然後 $$ \begin{align*} E\big((X_t-X_s) X_s \big) &= -\frac{t-s}{t} E\big(X_s^2\big) \ne 0. \end{align*} $$ 那是， $ X_t-X_s $ 不獨立於 $ X_s $ .