隨機過程的機率分佈∫噸0在噸d在在∫0噸在噸d在在int_{0} ^{t}frac{u}{t}dW_{u}
我想知道隨機過程的機率分佈
$$ X_t=\int_0^t \frac{u} {t} dW_{u} $$ 我曾想過使用 Kolmogorov 方程，但在將其轉換為 An SDE 之後 $$ dX_t=dW_t-\frac{1}{t^2}(\int_{0}^{t}udW_{u})dt $$ $$ X_0=0 $$
我發現我無法將前向 Kolmogrov 方程應用於它，因為 $ \mu $ 這裡本身就是一個隨機變數。是否有其他方程式可以找到此類過程的機率分佈？
在這裡，我們使用時變布朗運動技術來展示 $$ \begin{align*} Y_t = \int_0^t u, dW_u, \end{align*} $$ 在哪裡 $ {W_t, , t \ge 0} $ 是關於過濾的標準布朗運動 $ {\mathscr{F}_t,, t \ge 0} $ . 為了 $ t\ge 0 $ ， 讓 $ \mathscr{G}t = \mathscr{F}{\sqrt[3]{3t}} $ . 考慮過程 $ M={M_t, , t\ge 0} $ ， 在哪裡 $$ \begin{align*} M_t = \int_0^{\sqrt[3]{3t}} u, dW_u. \end{align*} $$ 那麼，很明顯 $ M $ 是關於過濾的連續鞅 $ {\mathscr{G}t,, t \ge 0} $ . 此外，我們有二次變化 $ \langle M, M\rangle_t = t $ . 通過利維對布朗運動的鞅刻畫， $ {M_t, t \ge 0} $ 是布朗運動。也就是說，對於 $ t> 0 $ , $ M_t $ 是正態分佈的。最後， $$ \begin{align*} Y_t &= \int_0^t u, dW_u\ &=M{\frac{1}{3}t^3} \end{align*} $$ 是正態分佈的，並且 $ X_t = \frac{1}{t}Y_t $ 也是正態分佈的。
註釋
請注意，對於 $ t>0 $ , $ X_t \sim N\big(0, \frac{1}{3}t\big) $ . 那麼，對於任何 $ \delta >0 $ , $$ \begin{align*} \lim_{t \rightarrow 0} P(|X_t|>\delta) &=\lim_{t \rightarrow 0}2P(X_t > \delta)\ &=\lim_{t \rightarrow 0}2P\left(\sqrt{\frac{3}{t}}X_t > \sqrt{\frac{3}{t}}\delta\right)\ &=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{\sqrt{\frac{3}{t}}\delta}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\ &=0. \end{align*} $$ 也就是說，作為 $ t $ 方法 $ 0 $ , $ X_t $ 方法 $ 0 $ 在機率上。