Vasicek 模型，零息債券問題
我正在嘗試解決 Vasicek 模型中的問題。誰能幫我解決這個問題…
在帶參數的 Vasicek 模型中 $ \theta = 0.08 $ , $ k $ = 2.5, $ \sigma = 0.2 $ ，假設已經處於風險中性機率之下，並且 $ r_0 = 0.1 $ , 為名義上的零息債券定價 $ F = 100 $ 歐元和 2 年到期。
剛才描述的債券在 1 年後價值超過 96 歐元的機率是多少？
讓 $ P(t,T) $ 表示時間 $ t $ 按時到期的零息債券（單位面值）的價格 $ T $ .
首先，記住對於每個 $ s\leq t $ ， 我們有 $$ \begin{align*} r_t = r_s e^{-\kappa(t-s)}+\theta\left(1-e^{-\kappa(t-s)}\right)+\sigma \int_s^t e^{-\kappa(t-u)}\mathrm{d}W_u. \end{align*} $$ 因此，短期利率 $ (r_t) $ 正態分佈於每個時間點 $ t $ 和 $$ \begin{align*} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[r_t|\mathcal{F}_s] &= r_se^{-\kappa(t-s)}+\theta\left(1-e^{-\kappa(t-s)}\right), \ \mathbb{V}\mathrm{ar}[r_t|\mathcal{F}_s] &= \frac{\sigma^2}{2\kappa}\left(1-e^{-2\kappa(t-s)}\right). \end{align*} $$
其次，Vasicek 模型是仿射期限結構模型，即債券價格由下式給出 $ P(t,T)=e^{A(t,T)+B(t,T)r_t} $ ， 在哪裡 $$ \begin{align*} A(t,T) &= \left(\frac{\sigma^2}{2\kappa^2}-\theta\right)\big( T-t-B(t,T)\big)-\frac{\sigma^2}{4\kappa}B(t,T)^2, \ B(t,T)&=\frac{1}{\kappa}\left(e^{-\kappa(T-t)}-1\right). \end{align*} $$ 特別是零息債券價格 $ P(t,T) $ 對每個時間點呈對數正態分佈 $ t $ .
我們最終計算時間的（無條件的，風險中性的）機率 $ t $ 零息債券的價格高於一個常數 $ c>0 $ . $$ \begin{align*} \mathbb{Q}[{P(t,T)>c}] &= 1- \mathbb{Q}[{P(t,T)\leq c}]\ &= 1- \mathbb{Q}[{e^{A(t,T)+B(t,T)r_t}\leq c}] \ &= 1- \mathbb{Q}\left[\left{r_t\leq \frac{\ln(c)-A(t,T)}{B(t,T)}\right}\right] \ &= 1- \mathbb{Q}\left[\left{m_t+ s_tZ\leq \frac{\ln(c)-A(t,T)}{B(t,T)}\right}\right] \ &= 1- \mathbb{Q}\left[\left{Z\leq \frac{\ln(c)-A(t,T)-m_tB(t,T)}{s_tB(t,T)}\right}\right] \ &= 1- \Phi\left(\frac{\ln(c)-A(t,T)-m_tB(t,T)}{s_tB(t,T)}\right), \end{align*} $$ 在哪裡 $ Z\sim N(0,1) $ 和 $ m_t $ 和 $ s_t^2 $ 是無條件的均值和變異數 $ r_t $ . 最後， $ \Phi $ 是標準正態分佈隨機變數的累積分佈函式。
在你的情況下， $ c=0.96 $ , $ t=1 $ 和 $ T=2 $ . 因此， $$ \begin{align*} m_1 &= r_0e^{-\kappa}+\theta\left(1-e^{-\kappa}\right), \ s_1 &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{2\kappa}\left(1-e^{-2\kappa}\right)}, \ A(1,2) &= \left(\frac{\sigma^2}{2\kappa^2}-\theta\right)\big( 1-B(1,2)\big)-\frac{\sigma^2}{4\kappa}B(1,2)^2, \ B(1,2)&=\frac{1}{\kappa}\left(e^{-\kappa}-1\right). \end{align*} $$