具有市場衍生參數的期權 Vega
假設我有一個形式為波動率模型 $ \sigma=f(X(x,y), Y(x, y)) $ 在哪裡 $ f $ 是變數的一些函式 $ X, Y $ 使用一些帶有市場隱含波動率的校準程序進行校準 $ x,y $ . 我的問題是關於希臘人的 PnL 擴展，主要是 vega。
vega 是通過對所有參數求導來計算的 $ X,Y,x,y $ 使得期權的 vega PnL 為$$ Vega_{PnL}=\frac{\partial V}{\partial X}dX+ \frac{\partial V}{\partial Y}dY+ \frac{\partial V}{\partial x}dx+ \frac{\partial V}{\partial y}dy? $$或者它實際上是關於參數的部分 $ x,y $ IE， $ Vega_{PnL}= \frac{\partial V}{\partial x}dx+ \frac{\partial V}{\partial y}dy $ ?
我原以為這將是關於 $ x, y $ 只要。
要獲得損益，我們首先需要敏感性（偏導數）。為簡單起見，我們假設 $ V $ 僅通過以下方式消耗波動性 $ g $ ，也就是說 P&L 和 Vega P&L 是一回事：
$$ V(x,y) = g(\sigma(x,y)) = g(f(X(x,y), Y(x,y))) = (g\circ f)(X(x,y), Y(x,y))= U(X(x,y), Y(x,y)) $$
注意 $$ V = U \circ (X, Y) $$
$$ \frac{\partial \sigma}{\partial x} = \frac{\partial f}{dX}\frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial Y}\frac{\partial Y}{\partial x} $$
$$ \frac{\partial \sigma}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial X}\frac{\partial X}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial Y}\frac{\partial Y}{\partial y} $$
$$ \frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial g}{d\sigma}\frac{\partial \sigma}{\partial x} $$ $$ \frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial g}{d\sigma}\frac{\partial \sigma}{\partial y} $$
$$ \frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial U}{dX}\frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial U}{\partial Y}\frac{\partial Y}{\partial x} $$
$$ \frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial U}{dX}\frac{\partial X}{\partial y} + \frac{\partial U}{\partial Y}\frac{\partial Y}{\partial y} $$
在損益表中，使用泰勒展開/近似：
$$ V(x,y) - V(x_0,y_0) = \frac{\partial V}{\partial x}(x_0,y_0) (x-x_0) + \frac{\partial V}{\partial y}(x_0,y_0) (y-y_0) $$ $$ + 0.5 \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}(x_0,y_0) (x-x_0)^2 + 0.5 \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}(x_0,y_0) (y-y_0)^2 $$ $$ + 0.5 \frac{\partial^2 V}{\partial x \partial y}(x_0,y_0) (x-x_0)(y-y_0) + 0.5 \frac{\partial^2 V}{\partial y \partial x}(x_0,y_0) (x-x_0)(y-y_0) $$ $$ + …, $$ 這可以在符號上縮寫為
$$ dV = \frac{\partial V}{\partial x}dx + \frac{\partial V}{\partial y}dy + 0.5 \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}(dx)^2 + 0.5 \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}(dy)^2
- 0.5 \frac{\partial^2 V}{\partial x \partial y}dxdy + 0.5 \frac{\partial^2 V}{\partial y \partial x}dx dy + … $$
如果去掉二階項，我們會得到通常的結果：
$$ dV = \frac{\partial V}{\partial x}dx + \frac{\partial V}{\partial y}dy $$
注意$$ \frac{\partial V}{\partial X}, ; \frac{\partial V}{\partial Y} $$可以是模棱兩可的符號。
定價功能 $ U $ （不同於 $ V $ ) 其“輸入”是 $ X $ 和 $ Y $ ，作為直接觀察到的數字，有自己的損益： $$ dU = \frac{\partial U}{\partial X}dX + \frac{\partial U}{\partial Y}dY, $$ 那是 $$ U(X,Y) - U(X_0,Y_0) = \frac{\partial U}{\partial X}(X_0,Y_0) (X-X_0) + \frac{\partial U}{\partial Y}(X_0,Y_0) (Y-Y_0) $$
如果我們想參與 $ U $ 的敏感性在 $ V $ 的損益計算，我們使用（來自上面的鍊式規則應用程序列表）：
$$ V(x,y) - V(x_0, y_0) = \left(\frac{\partial U}{dX}(X_0,Y_0)\frac{\partial X}{\partial x}(x_0, y_0) + \frac{\partial U}{\partial Y}(X_0,Y_0)\frac{\partial Y}{\partial x}(x_0, y_0)\right) (x-x_0) + \left(\frac{\partial U}{dX}(X_0,Y_0)\frac{\partial X}{\partial y}(x_0, y_0) + \frac{\partial U}{\partial Y}(X_0,Y_0)\frac{\partial Y}{\partial y}(x_0, y_0)\right)(y-y_0), $$ 在哪裡 $ X_0 = X(x_0,y_0), Y_0=Y(x_0,y_0) $ .
如果我們想參與 $ V $ 的敏感性在 $ U $ 的損益計算，我們使用（假設可逆）： $$ \begin{bmatrix} \frac{\partial U}{dX} \ \frac{\partial U}{dY} \end{bmatrix}(X_0,Y_0) = \begin{bmatrix} \frac{\partial X}{dx} & \frac{\partial X}{dy} \ \frac{\partial Y}{dx} & \frac{\partial Y}{dy} \end{bmatrix}^{-1}(x_0,y_0) \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial V}{dx} \ \frac{\partial V}{dy} \end{bmatrix}(x_0,y_0) $$
您觀察/標記隱含波動率 $ x $ 和 $ y $ . 您使用 vol 參數模型的動機是計算公平價格 $ V $ 一些需要隱含波動率的工具 $ \sigma=z $ 這不是直接可觀察到的——也許是其他一些到期或金錢或潛在的基調。（我會繼續使用 $ x,y,z $ ，但你可以有更多可觀察和不可觀察的體積。）你插值（甚至外推） $ z $ 從 $ x $ 和 $ y $ ，使用您的模型，並對波動率表面/立方體的形狀做出一些假設。（您似乎正在使用 $ X,Y $ 要得到 $ V $ 直接，然後需要一些額外的工作來提取 $ z $ .)
如果你的書有一個方便的屬性，即敏感度之和 $ V $ 到每個可觀察的捲（假設我們一次碰撞一個可觀察的捲並且不改變其他卷） $ \approx $ 靈敏度的總和 $ V $ 到每個 vol（可觀察或不可觀察，假設我們一次碰撞一個 vol 點並且不改變其他點） $ \approx $ 的敏感性 $ V $ 並行碰撞在一起的所有捲，那麼我的建議是報告 $ z $ , 的靈敏度 $ V $ 至 $ z $ , 利用市場風險限額對敏感性的 $ V $ 至 $ z $ ，以及可歸因於變化的損益 $ z $ 作為變化的產物 $ z $ 從前一天開始 $ \times $ 的先驗敏感性 $ V $ 至 $ z $ . （對於更複雜的產品來說，沒有這麼簡單的東西可能效果很好，其中 vega 實質上是非線性的，並且您需要三階風險，vol 點之間的交叉 gammas 等）
您還可以按照您的建議，通過報告這些數字的敏感性來補充這些數字 $ V $ 和 $ z $ 對每個可觀察對象，假設其他可觀察對像不變；以及您的內部模型參數 $ X,Y $ . 尋求了解導致損益的原因的人很可能更喜歡 $ z $ -基於對可觀察對象的解釋，但這些附加資訊可能會有所幫助。
此外，作為一個實用的損益表解釋/建議，許多產品在成交量、底層證券和時間之間具有令人驚訝的材料交叉伽馬。如果您進行實驗並決定在損益表解釋中包含這些交叉 gamma 會減少無法解釋的損益，從而值得付出努力，那麼對於交叉 gamma，您可以假設所有 vol 並行移動，而不是深入研究 vol 的結構表面/立方體。