收益率曲線自舉：直接市場利率與貼現因子插值
據我了解，有（通常來說）兩種引導收益率曲線的方法（使用精確方法）。我們可以在市場報價（銀行同業存款、期貨、FRA、掉期等）之間進行插值，然後推斷貼現因子，據我所知，這不需要最小化技術。或者，我們可以插入折扣因子以匹配市場報價（這需要同時進行插值和最小化）。如果我在這裡（概念上）錯了，請糾正我。
眾所周知，雙向使用線性插值會導致不規則的前瞻曲線。然而，我最近閱讀的一篇文章（我無法連結它）聲稱，當對折扣因子而不是直接市場報價進行插值時，其他一切都等於（所以相同的插值方法），隱含的遠期曲線在貼現因子的情況（作為插值變數）。這樣做的具體原因是什麼？
如果我們在兩個 libor 之間進行插值 $ L_1 $ 和 $ L_2 $ （即期利率）到期 $ T_1 $ 和 $ T_2 $ 貼現因子 $ T\in(T_1,T_2) $ 是 $$ P(T)=\frac{1}{1+TL(T)}=\frac{1}{1+T\frac{(T_2-T)L_1+(T-T_1)L_2}{T_2-T_1}},. $$ 遠期利率為 $ [T,T_2] $ 然後變成 $$ \begin{align}\tag{1} F(T,T_2)&=\frac{1}{T_2-T}\Bigg(\frac{P(T)}{P(T_2)}-1\Bigg)=\frac{1}{T_2-T}\Bigg(\frac{1+T_2L_2}{1+T\frac{(T_2-T)L_1+(T-T_1)L_2}{T_2-T_1}}-1\Bigg)\ &=\frac{1}{T_2-T}\frac{T_2(T_2-T_1)L_2-T(T_2-T)L_1-T(T-T_1)L_2}{T_2-T_1+T(T_2-T)L_1+T(T-T_1)L_2},. \end{align} $$ 相反，如果我們在折扣因子之間進行插值，那麼 $$ \begin{align}\tag{2} F(T,T_2)&=\frac{1}{T_2-T}\Bigg(\frac{(T_2-T)P(T_1)+(T-T_1)P(T_2)}{(T_2-T_1)P(T_2)}-1\Bigg)\ &=\frac{1}{T_2-T}\Bigg(\frac{1+T_2L_2}{T_2-T_1}\Bigg(\frac{T_2-T}{1+T_1L_1}+\frac{T-T_1}{1+T_2L_2}\Bigg)-1\Bigg),. \end{align} $$ 由於（1）包含 $ T^2 $ 條款和 (2) 我們不能期望 $ T $ - (1) 的導數大於 (2) 的導數。